Questão 4 Considere a seguinte demonstração de que -1 u=-u para todo u pertencente à um espaço vetorial V :
Seja u in V. Então u+(-1 u)=1 u+(-1 u)=(1+(-1)) u=0 u=0. Por outro lado u+(-u)=0. Daí u+(-1 u)=u+(-u). Somando -u à esquerda de ambos os lados da igualdade obtemos
-u+(u+(-1 u))=-u+(u+(-u))
Logo
(-u+u)+(-1 u)=(-u+u)+(-u)
Segue que 0+(-1 u)=0+(-u). Portanto -1 u=-u.
(a) Justifique em no máximo 2 linhas o porquê u+(-u)=0;
(b) Justifique em no máximo 2 linhas o porquê 1 u+(-1 u)=(1+(-1)) u.

Passo 1

O enunciado pede que justifiquemos dois fatos em um espaço vetorial V:
  1. Por que u+(-u)=0.
  2. Por que 1u+(-1)u=(1+(-1))u.
    Vamos usar os axiomas de inverso aditivo e de distributividade da multiplicação escalar sobre a soma de escalares.

Passo 2

Pelo axioma de existência do inverso aditivo, para todo uin V existe um -u tal que
u+(-u)=0

Passo 3

Pela distributividade da multiplicação escalar sobre soma de escalares, para quaisquer escalares a,b e vetor u vale
(a+b)u=au+bu
Tomando a=1 e b=-1 resulta
(1+(-1))u=1u+(-1)u

Resposta

(a) Pelo axioma de inverso aditivo, u+(-u)=0.
(b) Pela distributividade escalar, com a=1 e b=-1, tem-se (1+(-1))u=1u+(-1)u.

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