Questão 4 Considere a seguinte demonstração de que
para todo u pertencente à um espaço vetorial
:
Seja
. Então
. Por outro lado
. Daí
. Somando
à esquerda de ambos os lados da igualdade obtemos
Logo
Segue que
. Portanto
.
(a) Justifique em no máximo 2 linhas o porquê
;
(b) Justifique em no máximo 2 linhas o porquê
.
(a) Justifique em no máximo 2 linhas o porquê
(b) Justifique em no máximo 2 linhas o porquê
Passo 1
O enunciado pede que justifiquemos dois fatos em um espaço vetorial
:
- Por que
. - Por que
.
Vamos usar os axiomas de inverso aditivo e de distributividade da multiplicação escalar sobre a soma de escalares.
Passo 2
Pelo axioma de existência do inverso aditivo, para todo
existe um
tal que
Passo 3
Pela distributividade da multiplicação escalar sobre soma de escalares, para quaisquer escalares
e vetor
vale
Tomando
e
resulta
Resposta
(a) Pelo axioma de inverso aditivo,
.
(b) Pela distributividade escalar, com e
, tem-se
.
(b) Pela distributividade escalar, com