Verifique quais dos subconjuntos W abaixo são subespaços vetoriais reais do espaço V (considere as operações usuais). Para aqueles que forem, determine sua dimensão. Para aqueles que não forem, justifique ou dê contra-exemplo.
V=P2 ; W=A in V ; 2 p(1)=1 p(2);

Passo 1

O enunciado considera o espaço vetorial real P2 de polinômios de grau até 2 e o subconjunto
W = ,pinP2 mid 2,p(1)=p(2)
Queremos verificar se W é subespaço de P2 e, em caso afirmativo, determinar sua dimensão.

Passo 2

Observe que a condição 2,p(1)-p(2)=0 define uma aplicação linear
varphi:P2toR, varphi(p)=2,p(1)-p(2)
O conjunto
W=pmidvarphi(p)=0
é exatamente o núcleo de varphi. Como núcleo de aplicação linear, W é subespaço de P2.

Passo 3

Para encontrar dim(W), escrevemos um polinômio genérico
p(x)=a,x^2+b,x+c
Calculamos
p(1)=a+b+c, p(2)=4a+2b+c,
e impomos
2,p(1)=p(2) ;Longrightarrow; 2(a+b+c)=4a+2b+c
Desenvolvendo,
2a+2b+2c=4a+2b+c ;Longrightarrow; -2a+c=0 ;Longrightarrow; c=2a

Passo 4

Logo os polinômios em W têm a forma
p(x)=a,x^2+b,x+2a =a,(x^2+2)+b,(x)
Portanto ,x^2+2,;x é uma base de W. Como há dois vetores nessa base,
dim(W)=2

Resposta

W é subespaço vetorial de P2 e dim(W)=2.

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