Verifique quais dos subconjuntos
abaixo são subespaços vetoriais reais do espaço
(considere as operações usuais). Para aqueles que forem, determine sua dimensão. Para aqueles que não forem, justifique ou dê contra-exemplo.
;
Passo 1
O enunciado considera o espaço vetorial real
de polinômios de grau até
e o subconjunto
Queremos verificar se
é subespaço de
e, em caso afirmativo, determinar sua dimensão.
Passo 2
Observe que a condição
define uma aplicação linear
O conjunto
é exatamente o núcleo de
. Como núcleo de aplicação linear,
é subespaço de
.
Passo 3
Para encontrar
, escrevemos um polinômio genérico
Calculamos
e impomos
Desenvolvendo,
Passo 4
Logo os polinômios em
têm a forma
Portanto
é uma base de
. Como há dois vetores nessa base,