Verifique quais dos subconjuntos
abaixo são subespaços vetoriais reais do espaço
(considere as operações usuais). Para aqueles que forem, determine sua dimensão. Para aqueles que não forem, justifique ou dê contra-exemplo.
Passo 1
O enunciado dá o espaço vetorial real
com operações usuais e o subconjunto
O conteúdo é teste de subespaço vetorial: devemos verificar se
contém o vetor zero, é fechado em soma e em multiplicação escalar. Se for, determinar sua dimensão.
Passo 2
Observamos que em
a única solução da equação
é
Logo
Passo 3
Checamos se o vetor zero de
está em
. O vetor zero é
, cuja primeira coordenada é
, logo
.
Passo 4
Fechamento em soma: sejam
Então
também tem primeira coordenada zero, logo
.
Passo 5
Fechamento em multiplicação escalar: para
e
temos
cuja primeira coordenada é zero, logo
.
Passo 6
Como
é subespaço, encontramos uma base. Notamos que
são independentes e geram todo
. Portanto