Verifique quais dos subconjuntos W abaixo são subespaços vetoriais reais do espaço V (considere as operações usuais). Para aqueles que forem, determine sua dimensão. Para aqueles que não forem, justifique ou dê contra-exemplo.
V=R^3 ; W=(x, y, z) in V ; x^2=0

Passo 1

O enunciado dá o espaço vetorial real V=R^3 com operações usuais e o subconjunto
W = (x,y,z)in V mid x^2=0
O conteúdo é teste de subespaço vetorial: devemos verificar se W contém o vetor zero, é fechado em soma e em multiplicação escalar. Se for, determinar sua dimensão.

Passo 2

Observamos que em R a única solução da equação
x^2=0
é
x=0
Logo
W = (x,y,z)inR^3mid x=0 = (0,y,z)mid y,zinR

Passo 3

Checamos se o vetor zero de R^3 está em W. O vetor zero é (0,0,0), cuja primeira coordenada é 0, logo (0,0,0)in W.

Passo 4

Fechamento em soma: sejam
u=(0,y1,z1), v=(0,y2,z2)in W
Então
u+v = (0,y1+y2,z1+z2)
também tem primeira coordenada zero, logo u+vin W.

Passo 5

Fechamento em multiplicação escalar: para alphainR e
u=(0,y1,z1)in W,
temos
alpha u = (0,alpha y1,alpha z1)
cuja primeira coordenada é zero, logo alpha uin W.

Passo 6

Como W é subespaço, encontramos uma base. Notamos que
(0,1,0)e(0,0,1)
são independentes e geram todo W. Portanto
dim(W)=2

Resposta

W é subespaço vetorial de R^3 e dim(W)=2.

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