Questão 2) Sejam u=(0,2,9), v=(-2,0,4) e w=(-2,1,1). Responda
a) (v, w) é LI ou LD? É base? Porque?
b) (u, v, w) é LI ou LD? É base? Porque?
c) v e w são ortogonais?

Passo 1

O enunciado dá três vetores em R^3:
u=(0,2,9), v=(-2,0,4), w=(-2,1,1)
Precisamos determinar se pares ou trios desses vetores são linearmente independentes (LI) ou dependentes (LD), se formam base de R^3 e verificar ortogonalidade usando produto escalar.

Passo 2

Para o par (vec v,vec w) testamos se existe alpha tal que vec v=alphavec w. Igualando componentes:
(-2,0,4)=alpha(-2,1,1)
da primeira componente vem alpha=1, mas na segunda teríamos 0=alphacdot1=1, impossível. Logo não são múltiplos um do outro e (vec v,vec w) é LI. Como têm só dois vetores em R^3, não geram todo o espaço: não formam base de R^3.

Passo 3

Para o trio (vec u,vec v,vec w) montamos a matriz cujas linhas são esses vetores e calculamos o determinante:
M = 0 & 2 & 9 -2 & 0 & 4 -2 & 1 & 1 , det(M) = -30 neq 0
Determinante não nulo implica que vec u,vec v,vec w são LI. Como há três vetores LI em R^3, eles formam base de R^3.

Passo 4

Para verificar ortogonalidade calculamos o produto escalar:
vec vcdotvec w = (-2)(-2) + 0cdot1 + 4cdot1 = 4 + 0 + 4 = 8 neq 0
Como o produto escalar não é zero, vec v e vec w não são ortogonais.

Resposta

(a) (vec v,vec w) é LI; não é base de R^3.
(b) (vec u,vec v,vec w) é LI e forma base de R^3.
(c) vec v e vec w não são ortogonais.

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