Sejam os pontos mathrmP=(2,0,1), Q=(0,4,1) e mathrmM=(-2,2,-2) Faça
A projeção ortogonal de Q P sobre P M

Passo 1

O enunciado pede a projeção ortogonal de QP sobre PM. Isso envolve cálculo de vetores a partir dos pontos dados e aplicação da fórmula de projeção:
proj v( u) = ucdot v| v|^2, v

Passo 2

Calcular QP = P - Q. Como P=(2,0,1) e Q=(0,4,1), temos
QP =(2-0,;0-4,;1-1) =(2,,-4,,0)

Passo 3

Calcular PM = M - P. Como M=(-2,2,-2) e P=(2,0,1), fica
PM =(-2-2,;2-0,;-2-1) =(-4,,2,,-3)

Passo 4

Determinar o coeficiente escalar da projeção. Primeiro o produto interno:
QPcdotPM =2cdot(-4)+(-4)cdot2+0cdot(-3) =-8-8+0=-16
Depois a norma ao quadrado de PM:
|PM|^2 =(-4)^2+2^2+(-3)^2 =16+4+9=29
Logo o coeficiente é -16/29.

Passo 5

Aplicar a fórmula da projeção:
projPM(QP) =-1629,(-4,,2,,-3) =l(tfrac6429,,-tfrac3229,,tfrac4829r)

Resposta

projPM(QP) =l(tfrac6429,,-tfrac3229,,tfrac4829r).

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