Questão 7. Sejam V um espaço com produto interno, \operatorname{dim} V=n e U, W subespaços de V. Mostre que:
\operatorname{Se}\left\langle\mathbf{v}, U+U^{\perp}\right\rangle=0, então \mathbf{v}=0.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma conclusão clara.
  • Temos um espaço vetorial com produto interno V com \dim V = n.
  • Temos um subespaço U \subseteq V.
  • Denotamos por U^{\perp} o complemento ortogonal de U, isto é, o conjunto de vetores de V ortogonais a todos os vetores de U.
  • A hipótese é que \left\langle \mathbf{v}, U+U^{\perp}\right\rangle = 0. Isto significa que \mathbf{v} é ortogonal a todo vetor do subespaço U+U^{\perp}.
O que o enunciado pede: provar que, sob essa hipótese, necessariamente \mathbf{v}=0.

Passo 2

Primeiro explico exatamente o que significa cada objeto e a hipótese, com calma.
  • Definição do complementar ortogonal:
U^{\perp}=\{w\in V \mid \langle w,u\rangle=0\\ \text{para todo }u\in U\}.
Isto é, U^{\perp} é o conjunto de vetores de V que são ortogonais a cada vetor de U.
  • Interpretação da notação \left\langle \mathbf{v}, U+U^{\perp}\right\rangle = 0: significa que para todo x\in U+U^{\perp} vale
\langle \mathbf{v},x\rangle=0.
Ou seja, \mathbf{v} é ortogonal a todos os vetores do subespaço U+U^{\perp}.

Passo 3

Uma propriedade simples e útil: U\cap U^{\perp}=\{0\}.
Prova: se x\in U\cap U^{\perp} então x\in U e x\in U^{\perp}. Do fato x\in U^{\perp} segue que \langle x,x\rangle=0 (pois x é ortogonal a todos vetores de U, em particular a si mesmo). Pelo axioma de produto interno, \langle x,x\rangle=0 implica x=0. Logo a interseção só contém o vetor zero.
Observação didática: aqui usamos que o produto interno é positivo definido, isto é, \langle y,y\rangle\ge 0 com igualdade só para y=0.

Passo 4

Agora explico por que U+U^{\perp}=V quando V é finito‑dimensional — essa é a peça central.
  • Pegue uma base ortonormal de U. Concretamente, escolha uma base de U (por exemplo com k=\dim U vetores) e aplique o processo de Gram–Schmidt para obter um conjunto ortonormal \{u_1,\dots,u_k\} que gera U. (Gram–Schmidt é o processo que a partir de vetores linearmente independentes constrói vetores ortogonais e normalizados mantendo o espaço gerado.)
  • Em um espaço com produto interno e dimensão finita, qualquer conjunto ortonormal pode ser estendido a uma base ortonormal de todo V. Ou seja, existem vetores \{w_1,\dots,w_{n-k}\} tais que
\{u_1,\dots,u_k,w_1,\dots,w_{n-k}\}
é uma base ortonormal de V.
  • Por construção ortonormal, cada w_j é ortogonal a todos os u_i. Assim cada w_j pertence a U^{\perp}. Portanto os w_j geram um subespaço contido em U^{\perp}.
  • Como os vetores u_i e w_j juntos formam uma base de V, qualquer vetor de V pode ser escrito como combinação linear de vetores de U (os u_i) mais combinação linear dos w_j. Logo todo vetor de V pertence a U+U^{\perp}. Em símbolos:
V = \operatorname{span}\{u_1,\dots,u_k,w_1,\dots,w_{n-k}\} \subseteq U+U^{\perp}.
Mas claramente U+U^{\perp}\subseteq V, então concluímos
U+U^{\perp}=V.
Essa é a razão fundamental: em dimensão finita o complementar ortogonal complementa U até gerar todo V.

Passo 5

Com a igualdade U+U^{\perp}=V em mãos, volto à hipótese.
Se \langle \mathbf{v},x\rangle=0 para todo x\in U+U^{\perp}, e U+U^{\perp}=V, então \langle \mathbf{v},x\rangle=0 para todo x\in V. Em particular, posso escolher x=\mathbf{v}. Assim
\langle \mathbf{v},\mathbf{v}\rangle=0.
Pelo mesmo argumento de positividade do produto interno, isso implica \mathbf{v}=0.

Passo 6

Resumo do raciocínio (para decorar e usar na prova): em espaços com produto interno e dimensão finita sempre vale V=U\oplus U^{\perp}. Logo se um vetor é ortogonal a U+U^{\perp} ele é ortogonal a todo V, e daí sua norma é zero e o vetor é o vetor zero. Portanto a hipótese força \mathbf{v}=0.
Força aí — a ideia chave é: estende-se uma base ortonormal de U até V e usa-se positividade do produto interno.

Resposta

\mathbf{v}=0

Exercícios relacionados