Questão 7. Sejam
um espaço com produto interno,
e
subespaços de
. Mostre que:
, então
.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma conclusão clara.
- Temos um espaço vetorial com produto interno
com . - Temos um subespaço
. - Denotamos por
o complemento ortogonal de , isto é, o conjunto de vetores de ortogonais a todos os vetores de . - A hipótese é que
. Isto significa que é ortogonal a todo vetor do subespaço .
O que o enunciado pede: provar que, sob essa hipótese, necessariamente
.
Passo 2
Primeiro explico exatamente o que significa cada objeto e a hipótese, com calma.
- Definição do complementar ortogonal:
Isto é,
é o conjunto de vetores de
que são ortogonais a cada vetor de
.
- Interpretação da notação
: significa que para todo vale
Ou seja,
é ortogonal a todos os vetores do subespaço
.
Passo 3
Uma propriedade simples e útil:
.
Prova: se
então
e
. Do fato
segue que
(pois
é ortogonal a todos vetores de
, em particular a si mesmo). Pelo axioma de produto interno,
implica
. Logo a interseção só contém o vetor zero.
Observação didática: aqui usamos que o produto interno é positivo definido, isto é,
com igualdade só para
.
Passo 4
Agora explico por que
quando
é finito‑dimensional — essa é a peça central.
-
Pegue uma base ortonormal de
. Concretamente, escolha uma base de (por exemplo com vetores) e aplique o processo de Gram–Schmidt para obter um conjunto ortonormal que gera . (Gram–Schmidt é o processo que a partir de vetores linearmente independentes constrói vetores ortogonais e normalizados mantendo o espaço gerado.) -
Em um espaço com produto interno e dimensão finita, qualquer conjunto ortonormal pode ser estendido a uma base ortonormal de todo
. Ou seja, existem vetores tais que
é uma base ortonormal de
.
-
Por construção ortonormal, cada
é ortogonal a todos os . Assim cada pertence a . Portanto os geram um subespaço contido em . -
Como os vetores
e juntos formam uma base de , qualquer vetor de pode ser escrito como combinação linear de vetores de (os ) mais combinação linear dos . Logo todo vetor de pertence a . Em símbolos:
Mas claramente
, então concluímos
Essa é a razão fundamental: em dimensão finita o complementar ortogonal complementa
até gerar todo
.
Passo 5
Com a igualdade
em mãos, volto à hipótese.
Se
para todo
, e
, então
para todo
. Em particular, posso escolher
. Assim
Pelo mesmo argumento de positividade do produto interno, isso implica
.
Passo 6
Resumo do raciocínio (para decorar e usar na prova): em espaços com produto interno e dimensão finita sempre vale
. Logo se um vetor é ortogonal a
ele é ortogonal a todo
, e daí sua norma é zero e o vetor é o vetor zero. Portanto a hipótese força
.
Força aí — a ideia chave é: estende-se uma base ortonormal de
até
e usa-se positividade do produto interno.