Questão 7. Sejam
um espaço com produto interno,
e
subespaços de
. Mostre que:
.
Passo 1
O enunciado dá:
é um espaço com produto interno,
, e
são subespaços de
. Pede para mostrar as duas igualdades abaixo:
As informações relevantes: definição de complemento ortogonal (vetores ortogonais a todos os vetores do subespaço) e que estamos em dimensão finita
.
Passo 2
Lembrete útil (definição e ideia): para qualquer subespaço
definimos
Ou seja,
é o conjunto de todos os vetores de
que são ortogonais a todos os vetores de
. Vou usar essa definição diretamente para mostrar inclusões de conjuntos.
Passo 3
Prova da primeira igualdade — primeira inclusão. Vou mostrar que
Seja
. Por definição, isso significa que
Em particular, para qualquer
temos
, logo
, isto é
. De maneira análoga, para qualquer
temos
, então
, isto é
. Portanto
. Isso prova a inclusão desejada.
Passo 4
Prova da primeira igualdade — inclusão contrária. Vou mostrar que
Seja
. Então
para todo
e
para todo
. Tome um vetor arbitrário
. Por definição de soma direta, existe
e
tais que
. Então, usando linearidade do produto interno,
Como
foi arbitrário em
, concluímos
. Isso mostra a inclusão contrária.
Passo 5
Conclusão da primeira igualdade. Das inclusões dos Passos 3 e 4 segue a igualdade
Uma explicação intuitiva: ser ortogonal a tudo que é soma de algo de
com algo de
implica ser ortogonal separadamente a
e a
, e vice-versa.
Passo 6
Prova da segunda igualdade — primeira inclusão. Vou mostrar que
Seja
. Então existem
e
tais que
. Pegue um vetor
. Como
e
segue
. Como
e
segue
. Assim
Como
foi arbitrário em
, isso mostra
. Portanto
.
Passo 7
Preparação para a inclusão contrária usando dimensões. Em espaços com produto interno e dimensão finita vale a identidade útil: para qualquer subespaço
onde
. Uma forma de ver isso é tomar uma base ortonormal de
(ou uma base qualquer e ortonormalizá-la) e estendê-la a uma base ortonormal de
; os vetores que restam formam uma base de
. Vou usar essa identidade de dimensões nas contas seguintes.
Passo 8
Cálculo das dimensões para comparar os dois subespaços. Começo com a fórmula da dimensão da soma de subespaços:
Aplicando isso a
e
obtemos
Pelo resultado do Passo 5 temos
. Substituindo e usando
para
,
e
, obtemos:
Agora aplicamos a fórmula da dimensão da soma
:
Substituindo
na expressão anterior:
Simplificando:
Mas
pela identidade de dimensões de complementar ortogonal. Assim chegamos a
Passo 9
Conclusão da segunda igualdade por inclusão + igualdade de dimensões. Do Passo 6 temos a inclusão
Do Passo 8 obtivemos que esses dois subespaços têm a mesma dimensão. Em espaços vetoriais de dimensão finita, se
e
, então
. Aplicando isso obtemos
Assim a segunda igualdade está provada.