Questão 7. Sejam V um espaço com produto interno, \operatorname{dim} V=n e U, W subespaços de V. Mostre que:
(U+W)^{\perp}=U^{\perp} \cap W^{\perp} \mathrm{e}(U \cap W)^{\perp}=U^{\perp}+W^{\perp}.

Passo 1

O enunciado dá: V é um espaço com produto interno, \dim V = n, e U,W são subespaços de V. Pede para mostrar as duas igualdades abaixo:
(U+W)^{\perp}=U^{\perp}\cap W^{\perp}
(U\cap W)^{\perp}=U^{\perp}+W^{\perp}
As informações relevantes: definição de complemento ortogonal (vetores ortogonais a todos os vetores do subespaço) e que estamos em dimensão finita \dim V=n.

Passo 2

Lembrete útil (definição e ideia): para qualquer subespaço S\subset V definimos
S^{\perp}=\{v\in V \mid \langle v,s\rangle = 0\\ \text{para todo}\\ s\in S\}.
Ou seja, S^{\perp} é o conjunto de todos os vetores de V que são ortogonais a todos os vetores de S. Vou usar essa definição diretamente para mostrar inclusões de conjuntos.

Passo 3

Prova da primeira igualdade — primeira inclusão. Vou mostrar que
(U+W)^{\perp}\subset U^{\perp}\cap W^{\perp}.
Seja v\in (U+W)^{\perp}. Por definição, isso significa que
\langle v, x\rangle = 0\quad\text{para todo }x\in U+W.
Em particular, para qualquer u\in U temos u = u+0 \in U+W, logo \langle v,u\rangle=0, isto é v\in U^{\perp}. De maneira análoga, para qualquer w\in W temos w=0+w\in U+W, então \langle v,w\rangle=0, isto é v\in W^{\perp}. Portanto v\in U^{\perp}\cap W^{\perp}. Isso prova a inclusão desejada.

Passo 4

Prova da primeira igualdade — inclusão contrária. Vou mostrar que
U^{\perp}\cap W^{\perp}\subset (U+W)^{\perp}.
Seja v\in U^{\perp}\cap W^{\perp}. Então \langle v,u\rangle=0 para todo u\in U e \langle v,w\rangle=0 para todo w\in W. Tome um vetor arbitrário x\in U+W. Por definição de soma direta, existe u\in U e w\in W tais que x=u+w. Então, usando linearidade do produto interno,
\langle v,x\rangle = \langle v,u+w\rangle = \langle v,u\rangle + \langle v,w\rangle = 0+0 = 0.
Como x foi arbitrário em U+W, concluímos v\in (U+W)^{\perp}. Isso mostra a inclusão contrária.

Passo 5

Conclusão da primeira igualdade. Das inclusões dos Passos 3 e 4 segue a igualdade
(U+W)^{\perp}=U^{\perp}\cap W^{\perp}.
Uma explicação intuitiva: ser ortogonal a tudo que é soma de algo de U com algo de W implica ser ortogonal separadamente a U e a W, e vice-versa.

Passo 6

Prova da segunda igualdade — primeira inclusão. Vou mostrar que
U^{\perp}+W^{\perp}\subset (U\cap W)^{\perp}.
Seja v\in U^{\perp}+W^{\perp}. Então existem x\in U^{\perp} e y\in W^{\perp} tais que v=x+y. Pegue um vetor z\in U\cap W. Como z\in U e x\in U^{\perp} segue \langle x,z\rangle=0. Como z\in W e y\in W^{\perp} segue \langle y,z\rangle=0. Assim
\langle v,z\rangle = \langle x+y,z\rangle = \langle x,z\rangle + \langle y,z\rangle = 0+0 = 0.
Como z foi arbitrário em U\cap W, isso mostra v\in (U\cap W)^{\perp}. Portanto U^{\perp}+W^{\perp}\subset (U\cap W)^{\perp}.

Passo 7

Preparação para a inclusão contrária usando dimensões. Em espaços com produto interno e dimensão finita vale a identidade útil: para qualquer subespaço S\subset V
\dim S + \dim S^{\perp} = n,
onde n=\dim V. Uma forma de ver isso é tomar uma base ortonormal de S (ou uma base qualquer e ortonormalizá-la) e estendê-la a uma base ortonormal de V; os vetores que restam formam uma base de S^{\perp}. Vou usar essa identidade de dimensões nas contas seguintes.

Passo 8

Cálculo das dimensões para comparar os dois subespaços. Começo com a fórmula da dimensão da soma de subespaços:
\dim(A+B)=\dim A+\dim B-\dim(A\cap B).
Aplicando isso a A=U^{\perp} e B=W^{\perp} obtemos
\dim(U^{\perp}+W^{\perp})=\dim U^{\perp}+\dim W^{\perp}-\dim(U^{\perp}\cap W^{\perp}).
Pelo resultado do Passo 5 temos U^{\perp}\cap W^{\perp}=(U+W)^{\perp}. Substituindo e usando \dim S^{\perp}=n-\dim S para S=U, W e U+W, obtemos:
\dim(U^{\perp}+W^{\perp})=(n-\dim U)+(n-\dim W)-(n-\dim(U+W)).
Agora aplicamos a fórmula da dimensão da soma U+W:
\dim(U+W)=\dim U+\dim W-\dim(U\cap W).
Substituindo \dim(U+W) na expressão anterior:
\dim(U^{\perp}+W^{\perp})=2n-\dim U-\dim W -n +\big(\dim U+\dim W-\dim(U\cap W)\big).
Simplificando:
\dim(U^{\perp}+W^{\perp})=n-\dim(U\cap W).
Mas n-\dim(U\cap W)=\dim((U\cap W)^{\perp}) pela identidade de dimensões de complementar ortogonal. Assim chegamos a
\dim(U^{\perp}+W^{\perp})=\dim((U\cap W)^{\perp}).

Passo 9

Conclusão da segunda igualdade por inclusão + igualdade de dimensões. Do Passo 6 temos a inclusão
U^{\perp}+W^{\perp}\subset (U\cap W)^{\perp}.
Do Passo 8 obtivemos que esses dois subespaços têm a mesma dimensão. Em espaços vetoriais de dimensão finita, se A\subset B e \dim A=\dim B, então A=B. Aplicando isso obtemos
U^{\perp}+W^{\perp}=(U\cap W)^{\perp}.
Assim a segunda igualdade está provada.

Resposta

(U+W)^{\perp}=U^{\perp}\cap W^{\perp}\n (U\cap W)^{\perp}=U^{\perp}+W^{\perp}

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