Questão 7. Sejam
um espaço com produto interno,
e
subespaços de
. Mostre que:
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara.
- Temos um espaço com produto interno
. - Sabemos que
(ou seja, é de dimensão finita). - Existem subespaços
e de (o enunciado citou , mas a tarefa que nos pediram envolve apenas ). - A pergunta é: mostrar que
Aqui
denota o complemento ortogonal de
em
, e
é o complemento ortogonal de
. A resolução começa a partir dessas informações.
Passo 2
Definição e primeiras propriedades (pouco a pouco, sem pressa).
- Definimos o complemento ortogonal de
como
Explicando:
é o conjunto de todos os vetores de
que são ortogonais a todos os vetores de
.
- Mostro que
é subespaço de . Para isso verificamos: o vetor zero está em ; se então para todo temos , logo ; se é escalar e então , logo . Portanto é subespaço. O mesmo vale para .
Passo 3
Incluirção óbvia
.
- Seja
. Para qualquer temos por definição de . Isso significa que é ortogonal a todo vetor de . Assim . - Concluímos a inclusão
Isto é intuitivo: todo vetor de
é automaticamente ortogonal a quem é ortogonal a
.
Passo 4
Vamos comparar dimensões. Estratégia: mostrar que
. Para isso usamos uma construção canônica (Gram–Schmidt) para produzir uma base ortonormal adaptada a
.
- Tome uma base qualquer de
, digamos onde . - Estenda essa base a uma base de
completando com vetores . Agora é uma base de . - Aplique o processo de Gram–Schmidt à sequência
. O Gram–Schmidt transforma essa sequência em uma base ortonormal de com a propriedade importante que os primeiros vetores geram exatamente o mesmo subespaço que , isto é, geram . (Explicando por cima: Gram–Schmidt produz vetores ortonormais preservando o espaçamento das subespaços gerados pelas prefixas da sequência.) - Portanto
é uma base ortonormal de e é uma família ortonormal que é ortogonal a . Logo .
Passo 5
Dimensão de
e soma direta.
- Pela construção acima vemos que
são vetores linearmente independentes e todos pertencem a . Assim . - Por outro lado, qualquer vetor
é ortogonal a cada . Escrevendo na base ortonormal obtém-se que as componentes nas direções são zero, então pertence ao subespaço gerado por . Assim todo está em , logo . - Combinando as desigualdades obtemos
- Desta forma obtemos a relação clássica
Também disso segue que
se escreve como soma direta
pois qualquer vetor em
tem escrita única nas componentes ao longo de
(parte em
) e ao longo de
(parte em
).
Passo 6
Aplicar a mesma relação a
para obter a dimensão de
.
- Aplicando a fórmula anterior ao subespaço
(que também vive em e é finito-dimenso) temos
- Como
, substituindo obtemos
- Isolando
vem
Passo 7
Concluir igualdade usando inclusão e igualdade de dimensões.
- Já temos a inclusão
do Passo 3. - Acabamos de provar que
. - Um fato de álgebra linear muito útil: se
e são subespaços de um espaço vetorial finito-dimenso com e , então . (Porque não há espaço “sobrando” em para conter vetores além daqueles de .) - Aplicando esse fato ao caso
e obtemos