Questão 7. Sejam V um espaço com produto interno, \operatorname{dim} V=n e U, W subespaços de V. Mostre que:
U^{\perp \perp}=U

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara.
  • Temos um espaço com produto interno V.
  • Sabemos que \dim V = n (ou seja, V é de dimensão finita).
  • Existem subespaços U e W de V (o enunciado citou W, mas a tarefa que nos pediram envolve apenas U).
  • A pergunta é: mostrar que
U^{\perp\perp}=U.
Aqui U^\perp denota o complemento ortogonal de U em V, e U^{\perp\perp} é o complemento ortogonal de U^\perp. A resolução começa a partir dessas informações.

Passo 2

Definição e primeiras propriedades (pouco a pouco, sem pressa).
  • Definimos o complemento ortogonal de U como
U^\perp=\{v\in V \mid \langle v,u\rangle=0\\ \text{para todo }u\in U\}.
Explicando: U^\perp é o conjunto de todos os vetores de V que são ortogonais a todos os vetores de U.
  • Mostro que U^\perp é subespaço de V. Para isso verificamos: o vetor zero está em U^\perp; se x,y\in U^\perp então para todo u\in U temos \langle x+y,u\rangle=\langle x,u\rangle+\langle y,u\rangle=0+0=0, logo x+y\in U^\perp; se \alpha é escalar e x\in U^\perp então \langle \alpha x,u\rangle=\alpha\langle x,u\rangle=0, logo \alpha x\in U^\perp. Portanto U^\perp é subespaço. O mesmo vale para U^{\perp\perp}.

Passo 3

Incluirção óbvia U\subseteq U^{\perp\perp}.
  • Seja u\in U. Para qualquer w\in U^\perp temos \langle w,u\rangle=0 por definição de U^\perp. Isso significa que u é ortogonal a todo vetor de U^\perp. Assim u\in U^{\perp\perp}.
  • Concluímos a inclusão
U\subseteq U^{\perp\perp}.
Isto é intuitivo: todo vetor de U é automaticamente ortogonal a quem é ortogonal a U.

Passo 4

Vamos comparar dimensões. Estratégia: mostrar que \dim U + \dim U^\perp = n. Para isso usamos uma construção canônica (Gram–Schmidt) para produzir uma base ortonormal adaptada a U.
  • Tome uma base qualquer de U, digamos \{u_1,\dots,u_k\} onde k=\dim U.
  • Estenda essa base a uma base de V completando com vetores \{u_{k+1},\dots,u_n\}. Agora \{u_1,\dots,u_n\} é uma base de V.
  • Aplique o processo de Gram–Schmidt à sequência \{u_1,\dots,u_n\}. O Gram–Schmidt transforma essa sequência em uma base ortonormal \{e_1,\dots,e_n\} de V com a propriedade importante que os primeiros k vetores \{e_1,\dots,e_k\} geram exatamente o mesmo subespaço que \{u_1,\dots,u_k\}, isto é, geram U. (Explicando por cima: Gram–Schmidt produz vetores ortonormais preservando o espaçamento das subespaços gerados pelas prefixas da sequência.)
  • Portanto \{e_1,\dots,e_k\} é uma base ortonormal de U e \{e_{k+1},\dots,e_n\} é uma família ortonormal que é ortogonal a U. Logo \operatorname{span}\{e_{k+1},\dots,e_n\}\subseteq U^\perp.

Passo 5

Dimensão de U^\perp e soma direta.
  • Pela construção acima vemos que \{e_{k+1},\dots,e_n\} são n-k vetores linearmente independentes e todos pertencem a U^\perp. Assim \dim U^\perp\ge n-k.
  • Por outro lado, qualquer vetor v\in U^\perp é ortogonal a cada e_1,\dots,e_k. Escrevendo v na base ortonormal \{e_1,\dots,e_n\} obtém-se que as componentes nas direções e_1,\dots,e_k são zero, então v pertence ao subespaço gerado por \{e_{k+1},\dots,e_n\}. Assim todo v\in U^\perp está em \operatorname{span}\{e_{k+1},\dots,e_n\}, logo \dim U^\perp\le n-k.
  • Combinando as desigualdades obtemos
\dim U^\perp = n-k = n-\dim U.
  • Desta forma obtemos a relação clássica
\dim U + \dim U^\perp = n.
Também disso segue que V se escreve como soma direta
V = U \oplus U^\perp,
pois qualquer vetor em V tem escrita única nas componentes ao longo de \{e_1,\dots,e_k\} (parte em U) e ao longo de \{e_{k+1},\dots,e_n\} (parte em U^\perp).

Passo 6

Aplicar a mesma relação a U^\perp para obter a dimensão de U^{\perp\perp}.
  • Aplicando a fórmula anterior ao subespaço U^\perp (que também vive em V e é finito-dimenso) temos
\dim U^\perp + \dim U^{\perp\perp} = n.
  • Como \dim U^\perp = n - \dim U, substituindo obtemos
(n-\dim U) + \dim U^{\perp\perp} = n.
  • Isolando \dim U^{\perp\perp} vem
\dim U^{\perp\perp} = \dim U.

Passo 7

Concluir igualdade usando inclusão e igualdade de dimensões.
  • Já temos a inclusão U\subseteq U^{\perp\perp} do Passo 3.
  • Acabamos de provar que \dim U^{\perp\perp}=\dim U.
  • Um fato de álgebra linear muito útil: se A e B são subespaços de um espaço vetorial finito-dimenso com A\subseteq B e \dim A=\dim B, então A=B. (Porque não há espaço “sobrando” em B para conter vetores além daqueles de A.)
  • Aplicando esse fato ao caso A=U e B=U^{\perp\perp} obtemos
U = U^{\perp\perp}.

Resposta

U^{\perp\perp}=U

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