Questão 8. Considere
munido com as operações de soma e produto por escalar usuais. Defina
Mostre que
define um produto interno em
.
Passo 1
O enunciado dá o espaço vetorial
com as operações usuais de soma e multiplicação por escalar, e define uma aplicação
O que precisamos mostrar é que essa aplicação satisfaz as quatro propriedades que caracterizam um produto interno (num espaço vetorial real): (i) simetria, (ii) linearidade em um dos argumentos (aqui iremos mostrar linearidade em cada argumento, já que o espaço é real), (iii) positividade
para todo
, e (iv) definitude:
implica
é a função zero (isto é,
para todo
). Também temos que garantir que
é um número real bem definido para quaisquer
.
Passo 2
Verificação de que
é bem definido como número real.
Como
e
são contínuas em um intervalo compacto
, o produto
também é contínuo em
. Uma função contínua num intervalo compacto é integrável (no sentido de Riemann, e também de Lebesgue), logo
é um número real bem definido. Portanto a aplicação está bem definida de
em
.
Passo 3
Simetria.
Usamos que a multiplicação de números reais é comutativa:
para todo
. Assim
Portanto
é simétrica.
Passo 4
Linearidade (em cada argumento, pois estamos em espaço real).
Mostro linearidade no primeiro argumento. Tomem
e
. Usando a linearidade da integral (fator constante sai da integral, soma se separa):
Pelo mesmo raciocínio (ou usando a simetria já provada), obtemos linearidade no segundo argumento:
Logo a aplicação é bilinear (linear em cada argumento), como queremos para um produto interno real.
Passo 5
Positividade (semi-definida):
.
Para qualquer
temos
para todo
. Como a integral preserva a desigualdade para integrandos não-negativos,
Passo 6
Definitude: se
então
é a função zero.
Suponha
, ou seja
Queremos mostrar
para todo
. Prova por contradição: suponha existe
tal que
. Então
. Como
é contínua, existe
tal que para todo
com
vale
; daí
nesse intervalo. Então para tais
temos
. Assim a integral sobre esse subintervalo satisfa
Isso implica
, contradição com a hipótese de que a integral é zero. Logo não existe tal
; portanto
para todo
. Assim
implica
é a função zero. Concluímos a definitude.
Passo 7
Conclusão final e comentário de didática.
Reunindo: a aplicação
está bem definida em
, é simétrica, bilinear (linear em cada argumento), e positiva definida. Essas são exatamente as propriedades exigidas para um produto interno num espaço vetorial real. Portanto
define um produto interno em
.
Se quiser, na prova pode escrever essas quatro verificações de forma sucinta: (i) simetria por comutatividade do produto, (ii) linearidade pela linearidade da integral, (iii) positividade porque
, (iv) definitude usando continuidade e um argumento de vizinhança como acima — essa é a parte que costuma causar dúvida, então lembre-se: continuidade permite transformar
numa contribuição positiva da integral numa vizinhança, contradizendo integral nula.
Resposta
Sim.
define um produto interno em
.