Questão 8. Considere
\mathbb{V}={f:[-1,1] \rightarrow \mathbb{R} ; f \text { é contínua }}éí
munido com as operações de soma e produto por escalar usuais. Defina
\langle f, g\rangle=\int_{-1}^{1} f(x) g(x) \mathrm{d} x
Mostre que \langle\cdot, \cdot\rangle define um produto interno em \mathbb{V}.

Passo 1

O enunciado dá o espaço vetorial
\mathbb{V}=\{f:[-1,1]\to\mathbb{R}\mid f\text{ é contínua}\}éí
com as operações usuais de soma e multiplicação por escalar, e define uma aplicação
\langle f,g\rangle=\int_{-1}^{1} f(x)g(x)\,\mathrm{d}x.
O que precisamos mostrar é que essa aplicação satisfaz as quatro propriedades que caracterizam um produto interno (num espaço vetorial real): (i) simetria, (ii) linearidade em um dos argumentos (aqui iremos mostrar linearidade em cada argumento, já que o espaço é real), (iii) positividade \langle f,f\rangle\ge 0 para todo f, e (iv) definitude: \langle f,f\rangle=0 implica f é a função zero (isto é, f(x)=0 para todo x\in[-1,1]). Também temos que garantir que \langle f,g\rangle é um número real bem definido para quaisquer f,g\in\mathbb V.

Passo 2

Verificação de que \langle f,g\rangle é bem definido como número real.
Como f e g são contínuas em um intervalo compacto [-1,1], o produto f g também é contínuo em [-1,1]. Uma função contínua num intervalo compacto é integrável (no sentido de Riemann, e também de Lebesgue), logo
\langle f,g\rangle=\int_{-1}^{1} f(x)g(x)\,\mathrm{d}x
é um número real bem definido. Portanto a aplicação está bem definida de \mathbb V\times\mathbb V em \mathbb R.

Passo 3

Simetria.
Usamos que a multiplicação de números reais é comutativa: f(x)g(x)=g(x)f(x) para todo x. Assim
\langle f,g\rangle=\int_{-1}^{1} f(x)g(x)\,\mathrm{d}x=\int_{-1}^{1} g(x)f(x)\,\mathrm{d}x=\langle g,f\rangle.
Portanto \langle\cdot,\cdot\rangle é simétrica.

Passo 4

Linearidade (em cada argumento, pois estamos em espaço real).
Mostro linearidade no primeiro argumento. Tomem a,b\in\mathbb{R} e f_1,f_2,h\in\mathbb V. Usando a linearidade da integral (fator constante sai da integral, soma se separa):
\langle a f_1 + b f_2,\, h\rangle=\int_{-1}^{1} \big(a f_1(x)+ b f_2(x)\big) h(x)\,\mathrm{d}x
= a\int_{-1}^{1} f_1(x)h(x)\,\mathrm{d}x + b\int_{-1}^{1} f_2(x)h(x)\,\mathrm{d}x
= a\langle f_1,h\rangle + b\langle f_2,h\rangle.
Pelo mesmo raciocínio (ou usando a simetria já provada), obtemos linearidade no segundo argumento:
\langle f,\, a h_1 + b h_2\rangle = a\langle f,h_1\rangle + b\langle f,h_2\rangle.
Logo a aplicação é bilinear (linear em cada argumento), como queremos para um produto interno real.

Passo 5

Positividade (semi-definida): \langle f,f\rangle\ge 0.
Para qualquer f\in\mathbb V temos f(x)^2\ge 0 para todo x. Como a integral preserva a desigualdade para integrandos não-negativos,
\langle f,f\rangle=\int_{-1}^{1} f(x)^2\,\mathrm{d}x \ge 0.

Passo 6

Definitude: se \langle f,f\rangle=0 então f é a função zero.
Suponha \langle f,f\rangle=0, ou seja
\int_{-1}^{1} f(x)^2\,\mathrm{d}x = 0.
Queremos mostrar f(x)=0 para todo x\in[-1,1]. Prova por contradição: suponha existe x_0\in[-1,1] tal que f(x_0)\neq 0. Então |f(x_0)|=c>0. Como f é contínua, existe \delta>0 tal que para todo x com |x-x_0|<\delta vale |f(x)-f(x_0)|<c/2; daí |f(x)|>c/2 nesse intervalo. Então para tais x temos f(x)^2>(c/2)^2. Assim a integral sobre esse subintervalo satisfa
\int_{x_0-\delta}^{x_0+\delta} f(x)^2\,\mathrm{d}x \ge \int_{x_0-\delta}^{x_0+\delta} \left(\frac{c}{2}\right)^{\!2}\mathrm{d}x = \left(\frac{c}{2}\right)^{\!2}\cdot (2\delta) >0.
Isso implica \int_{-1}^{1} f(x)^2\,\mathrm{d}x>0, contradição com a hipótese de que a integral é zero. Logo não existe tal x_0; portanto f(x)=0 para todo x\in[-1,1]. Assim \langle f,f\rangle=0 implica f é a função zero. Concluímos a definitude.

Passo 7

Conclusão final e comentário de didática.
Reunindo: a aplicação \langle\cdot,\cdot\rangle está bem definida em \mathbb V\times\mathbb V, é simétrica, bilinear (linear em cada argumento), e positiva definida. Essas são exatamente as propriedades exigidas para um produto interno num espaço vetorial real. Portanto \langle f,g\rangle=\int_{-1}^{1} f(x)g(x)\,\mathrm{d}x define um produto interno em \mathbb V.
Se quiser, na prova pode escrever essas quatro verificações de forma sucinta: (i) simetria por comutatividade do produto, (ii) linearidade pela linearidade da integral, (iii) positividade porque f^2\ge0, (iv) definitude usando continuidade e um argumento de vizinhança como acima — essa é a parte que costuma causar dúvida, então lembre-se: continuidade permite transformar f(x_0)\neq0 numa contribuição positiva da integral numa vizinhança, contradizendo integral nula.

Resposta

Sim. \langle\cdot,\cdot\rangle define um produto interno em \mathbb{V}.

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