QUESTÃO 4:
Sejam \vec{u}=(4, x) e \vec{v}=(x, 2) vetores e A=(3,2) e B=(4,-1) pontos. Determine o valor de x para o qual \vec{u} \cdot(\vec{v}+\overrightarrow{A B})=7.

Passo 1

O enunciado dá os vetores \vec{u}=(4,x) e \vec{v}=(x,2) e os pontos A=(3,2), B=(4,-1). Pede o valor de x tal que
\vec{u}\cdot\bigl(\vec{v}+\overrightarrow{AB}\bigr)=7.
Vamos usar operações de subtração de pontos para achar \overrightarrow{AB}, depois somar com \vec{v} e calcular o produto escalar com \vec{u}.

Passo 2

Calcular \overrightarrow{AB} subtraindo coordenadas de A em B:
\overrightarrow{AB}=B-A=(4-3,\,-1-2)=(1,\,-3).

Passo 3

Somar \vec{v} com \overrightarrow{AB}:
\vec{v}+\overrightarrow{AB}=(x,2)+(1,-3)=(x+1,\,-1).

Passo 4

Fazer o produto escalar \vec{u}\cdot(\vec{v}+\overrightarrow{AB}):
\vec{u}\cdot(x+1,\,-1)=(4,x)\cdot(x+1,\,-1) =4(x+1)+x(-1)=4x+4-x=3x+4.

Passo 5

Impor 3x+4=7 e resolver para x:
3x+4=7\quad\Longrightarrow\quad3x=3\quad\Longrightarrow\quad x=1.

Resposta

1

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