QUESTÃO 2:
Determine o vetor \vec{u}, de módulo 4, que faz um ângulo de 30^{\circ}, com o vetor \vec{v}=(1,0).

Passo 1

O enunciado pede um vetor \vec{u} de módulo 4 que forme um ângulo de 30^\circ com \vec{v}=(1,0). O conteúdo aqui é coordenadas polares: dado módulo r e direção \theta, passamos para componentes cartesianas via (r\cos\theta,\;r\sin\theta).

Passo 2

Como \vec{v}=(1,0) aponta ao longo do eixo x, o ângulo entre \vec{u} e \vec{v} coincide com o ângulo que \vec{u} faz com o eixo x. Logo podemos escrever
\vec{u} = \bigl(r\cos\theta,\;r\sin\theta\bigr)
com r=4 e \theta=30^\circ.

Passo 3

Calculamos \cos30^\circ e \sin30^\circ:
\cos30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \sin30^\circ = \frac{1}{2}.
Substituindo em \vec{u}:
u_x = 4\cos30^\circ = 4\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}, \quad u_y = 4\sin30^\circ = 4\cdot\frac{1}{2} = 2.

Passo 4

Portanto o vetor procurado é
\vec{u} = \bigl(2\sqrt{3},\,2\bigr).

Resposta

\vec{u}=(2\sqrt{3},2)

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