Questão 2. Sejam os vetores u=(1,-1,-4) e v=(3,2,-2). Determinar um vetor que seja
a) ortogonal a u e v
b) ortogonal a u e v e unitário
c) ortogonal a u e v e tenha módulo 4
d) ortogonal a u e v e com última coordenada igual a 7 .

Passo 1

O enunciado dá dois vetores em R^3:
vec u = (1,-1,-4), vec v = (3,2,-2)
Queremos um vetor ortogonal a ambos. Para isso usamos o produto vetorial vec utimesvec v. Depois, para normalizar ou mudar o módulo, basta escalar esse resultado. Para atender à condição da última coordenada igual a 7, usamos a forma geral t(vec utimesvec v) e escolhemos t adequadamente.

Passo 2

Calcular o produto vetorial
vec w0 = vec u times vec v = det i & j & k [6pt] 1 & -1 & -4 [3pt] 3 & 2 & -2 = l( (-1)(-2)-(-4)(2),,-l(1cdot(-2)-(-4)cdot3r),,1cdot2-(-1)cdot3r)
= (2+8,,-(-2+12),,2+3) = (10,,-10,,5) ]

Passo 3

a) Um vetor ortogonal a vec u e vec v é
vec w0 = (10,-10,5)

Passo 4

Calcular o módulo de vec w0:
|vec w0| = raiz10^2 + (-10)^2 + 5^2 = raiz100 + 100 + 25 = raiz225 = 15

Passo 5

b) O vetor unitário ortogonal a vec u e vec v é
vec w1 = vec w0|vec w0| = l(1015,,-1015,,515r) = l(tfrac23,,-tfrac23,,tfrac13r)

Passo 6

c) Para ter módulo 4, escalamos vec w1 por 4:
vec w2 = 4,vec w1 = l(tfrac83,,-tfrac83,,tfrac43r)

Passo 7

d) Qualquer vetor ortogonal a vec u e vec v é da forma
,t,vec w0. Queremos que a última coordenada seja 7, ou seja
5t = 7 Longrightarrow t = 75
Logo
vec w3 = 75,vec w0 = l(75cdot10,;75cdot(-10),;75cdot5r) = (14,,-14,,7)

Resposta

a) (10,-10,5)
b) l(tfrac23,-tfrac23,tfrac13r)
c) l(tfrac83,-tfrac83,tfrac43r)
d) (14,-14,7)

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