Seja B=i, j, k a base canônica de V^3. Encontre o produto misto dos vetores u=(2,-1,1)B, v=(1,0,-1)B e w=(2,-1,4)B, nesta ordem

Passo 1

O enunciado pede o produto misto de três vetores em R^3, ou seja
(utimes v)cdot w
sendo u=(2,-1,1)B, v=(1,0,-1)B e w=(2,-1,4)B. Para isso vamos usar o produto vetorial e, em seguida, o produto escalar.

Passo 2

Calcular o produto vetorial utimes v usando a regra do determinante
utimes v = i & j & k 2 & -1 & 1 1 & 0 & -1

Passo 3

Expandindo o determinante, temos
utimes v = il((-1)cdot(-1)-1cdot0r) - jl(2cdot(-1)-1cdot1r) + kl(2cdot0-(-1)cdot1r)
Portanto
utimes v = i(1) - j(-3) + k(1) = (1,,3,,1)B

Passo 4

Agora fazemos o produto escalar entre utimes v=(1,3,1)B e w=(2,-1,4)B:
(utimes v)cdot w = 1cdot2 + 3cdot(-1) + 1cdot4 = 2 - 3 + 4 = 3

Resposta

O produto misto (utimes v)cdot w vale 3.

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