Seja B=i, j, k a base canônica de V^3. Dados os vetores u=(5,4,3)B e v=(1,0,1)B encontre um novo vetor que seja ortogonal a u e a v e que seja diferente do vetor nulo

Passo 1

O enunciado dá os vetores u=(5,4,3)B e v=(1,0,1)B em V^3 e pede um vetor não nulo que seja ortogonal a ambos. Para isso vamos usar o produto vetorial, que em R^3 produz exatamente um vetor ortogonal aos dois fatores.

Passo 2

O produto vetorial utimesv é definido pelo determinante
utimes v = i & j & k 5 & 4 & 3 1 & 0 & 1 ,

Passo 3

Calculando o determinante temos
utimes v =i(4cdot1-3cdot0) -j(5cdot1-3cdot1) +k(5cdot0-4cdot1) =4,i-2,j-4,k

Passo 4

O vetor w=4,i-2,j-4,k é ortogonal a u e v e obviamente não é o vetor nulo. Pode-se também usar qualquer múltiplo escalar não nulo, por exemplo (2,-1,-2)B.

Resposta

Um possível vetor ortogonal a u e v é
(4,-2,-4)B

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