Questão 4 ( 3,0 pts) Encontrar os valores de a e b para os quais o sistema
\left\{\begin{array}{c} x+a y-4 z=1 \\\\ -a x-4 y+(2+4 a) z=2-a \\\\ -x-a y+2 a z=b \end{array}\right.
possui uma única solução, infinitas soluções ou não tem soluções.
Passo 1
O enunciado nos dá um sistema linear em x,y,z\) dependente de dois parâmetros \(a\) e \(b\):
\[\begin{cases} x + a\,y - 4\,z = 1,\\\\ -\,a\,x - 4\,y + (2+4a)\,z = 2 - a,\\\\ -\,x - a\,y + 2a\,z = b. \end{cases}
O conteúdo é classificação de sistemas lineares via determinante da matriz dos coeficientes e análise de consistência quando o determinante é zero. Precisamos (1) calcular \det(A)\], (2) identificar para quais \(a ele se anula, e (3) estudar consistência no caso singular.
Passo 2
Montamos a matriz dos coeficientes
A = \begin{pmatrix} 1 & a & -4\\\\ -\,a & -4 & 2+4a\\\\ -\,1 & -a & 2a \end{pmatrix}
e calculamos
\det(A) =2\,(a-2)^2\,(a+2).
Logo \det(A)\neq0 exatamente quando a\neq2 e a\neq-2.
Passo 3
Se \det(A)\neq0, ou seja a\neq2 e a\neq-2, o sistema tem única solução para qualquer valor de b.
Passo 4
Quando a=2, a matriz é singular e tem posto 2. Substituindo a=2 no sistema, testamos se a equação 3 fica combinação das duas primeiras. O cálculo mostra que a consistência exige
b=-1.
Assim se a=2 e b=-1 o posto da matriz dos coeficientes e o posto da matriz ampliada são iguais a 2, gerando infinitas soluções; se a=2 e b\neq-1 a ampliação eleva o posto para 3, não havendo solução.
Passo 5
Quando a=-2, de modo análogo, a condição de consistência da equação 3 impõe
b=-9.
Portanto, se a=-2 e b=-9 há infinitas soluções; se a=-2 e b\neq-9 não há solução.
Resposta
Para a\neq2 e a\neq-2: única solução (qualquer b).
Para a=2: infinitas soluções se b=-1, sem solução se b\neq-1.
Para a=-2: infinitas soluções se b=-9, sem solução se b\neq-9.