Questão 1 (Séries de Fourier). Determine a série de Fourier das seguintes funções:
f:[-2,2] R,
f(x)=llr x+2 & se & -2 <= x<0 -x+2 & se & 0 <= x <= 2

Passo 1

O enunciado dá uma função por partes em [-2,2],
f(x)=
x+2,&-2<= x<0, -x+2,&0<= x<=2,
e pede a série de Fourier periódica de período 4. Vamos usar o conteúdo de séries de Fourier em [−L,L] com L=2 e calcular os coeficientes a₀, aₙ e bₙ.

Passo 2

Para montar a série, lembramos que em [−2,2] a expansão geral é
f(x)=a02+sumn=1^inftyl(ancostfracnpi x2+bnsintfracnpi x2r),
onde
a0=12integral-2^2f(x),dx, an=12integral-2^2f(x)costfracnpi x2,dx, bn=12integral-2^2f(x)sintfracnpi x2,dx

Passo 3

Vamos calcular a0. Dividimos em duas integrais:
integral-2^2f(x),dx=integral-2^0(x+2),dx+integral0^2(-x+2),dx
Fazendo as contas:
integral-2^0(x+2),dx=2, integral0^2(-x+2),dx=2,
logo a integral total é 4 e
a0=12cdot4=2,
portanto a0/2=1.

Passo 4

Agora an. Defina alpha=tfracnpi2. Então
an=12l(integral-2^0(x+2)cos(alpha x),dx+integral0^2(-x+2)cos(alpha x),dxr)
Aplicando integração por partes em cada termo e simplificando, chega-se a
an=1-cos(2alpha)alpha^2
Como 2alpha=npi, cos(npi)=(-1)^n, vem
an=1-(-1)^n(npi/2)^2= 0,&n par,[6pt] dfrac8n^2pi^2,&n ímpar í

Passo 5

Para bn, fazemos integral semelhante de f(x)sin(alpha x). Usando também integração por partes, todos os termos se cancelam e obtemos
bn=0forall n

Passo 6

Juntando tudo, a série de Fourier fica
f(x)=1+sumk=0^infty8(2k+1)^2pi^2cosl(tfrac(2k+1)pi x2r)

Resposta

A série de Fourier de f em [-2,2] é
$$
f(x)=1+\sum_{k=0}{\infty}\frac{8}{(2k+1)2\pi^2}\cos\Bigl(\tfrac{(2k+1)\pi x}{2}\Bigr).$$

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