Questão 1 (Séries de Fourier). Determine a série de Fourier das seguintes funções:
,
Passo 1
O enunciado dá uma função por partes em [-2,2],
f(x)=
f(x)=
e pede a série de Fourier periódica de período 4. Vamos usar o conteúdo de séries de Fourier em [−L,L] com L=2 e calcular os coeficientes a₀, aₙ e bₙ.
Passo 2
Para montar a série, lembramos que em [−2,2] a expansão geral é
onde
Passo 3
Vamos calcular
. Dividimos em duas integrais:
Fazendo as contas:
logo a integral total é 4 e
portanto
.
Passo 4
Agora
. Defina
. Então
Aplicando integração por partes em cada termo e simplificando, chega-se a
Como
,
, vem
Passo 5
Para
bn , fazemos integral semelhante de
f(x)sin(alpha x) . Usando também integração por partes, todos os termos se cancelam e obtemos
Passo 6
Juntando tudo, a série de Fourier fica
Resposta
A série de Fourier de f em [-2,2] é
$$
f(x)=1+\sum_{k=0}{\infty}\frac{8}{(2k+1)2\pi^2}\cos\Bigl(\tfrac{(2k+1)\pi x}{2}\Bigr).$$