Questão 3: Simplificação Trigonométrica
Simplifique as expressões abaixo:
.
Passo 1
O enunciado pede para simplificar a expressão
.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- A expressão é uma função trigonométrica em termos de
e . - Há uma subtração no numerador:
. - Há uma divisão por
, então precisamos lembrar que não podemos dividir por zero: devemos atentar para os valores de tais que .
Não vou resolver aqui; apenas organizei o que nos foi pedido e os pontos importantes a observar.
Passo 2
Vamos usar uma identidade trigonométrica básica e essencial: a identidade pitagórica.
A identidade pitagórica afirma que
A identidade pitagórica afirma que
O que isso significa: para qualquer ângulo
, o quadrado do seno mais o quadrado do cosseno vale
. Essa identidade vem diretamente da definição de seno e cosseno no círculo unitário (coordenadas do ponto sobre o círculo de raio
): se a coordenada horizontal é
e a vertical é
, então pela relação entre catetos e hipotenusa num triângulo retângulo temos
.
Agora apenas isolamos : subtraindo
dos dois lados,
Agora apenas isolamos
Passo 3
Substituímos o numerador da expressão original usando o resultado do Passo 2:
Agora aplicamos uma regra algébrica simples: para qualquer número (ou função)
com
,
Aqui
. Então, desde que
, podemos cancelar um fator
do numerador com o denominador e obter
Passo 4
Devemos explicitar a restrição de domínio: a simplificação por cancelamento só é válida quando o denominador original é diferente de zero. Portanto:
- Para
a expressão simplifica para . - Quando
(por exemplo com ), a expressão original é indefinida, pois divide por zero.
Passo 5
Para fixar a ideia, confira dois exemplos numéricos rápidos:
- Se
, então e . O numerador é . Assim a expressão vale , que é exatamente . - Se
, então e a expressão original seria divisão por zero — portanto indefinida, conforme dito.
Resposta
Indefinida para