Questão 3: Simplificação Trigonométrica
Simplifique as expressões abaixo:
\frac{1-\cos ^{2} x}{\sin x}.

Passo 1

O enunciado pede para simplificar a expressão
\displaystyle \frac{1-\cos^{2} x}{\sin x}.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A expressão é uma função trigonométrica em termos de \sin x e \cos x.
  • Há uma subtração no numerador: 1-\cos^{2} x.
  • Há uma divisão por \sin x, então precisamos lembrar que não podemos dividir por zero: devemos atentar para os valores de x tais que \sin x=0.
    Não vou resolver aqui; apenas organizei o que nos foi pedido e os pontos importantes a observar.

Passo 2

Vamos usar uma identidade trigonométrica básica e essencial: a identidade pitagórica.
A identidade pitagórica afirma que
\sin^{2} x + \cos^{2} x = 1.
O que isso significa: para qualquer ângulo x, o quadrado do seno mais o quadrado do cosseno vale 1. Essa identidade vem diretamente da definição de seno e cosseno no círculo unitário (coordenadas do ponto sobre o círculo de raio 1): se a coordenada horizontal é \cos x e a vertical é \sin x, então pela relação entre catetos e hipotenusa num triângulo retângulo temos \cos^{2} x + \sin^{2} x = 1^{2}=1.
Agora apenas isolamos 1-\cos^{2} x: subtraindo \cos^{2} x dos dois lados,
1-\cos^{2} x = \sin^{2} x.

Passo 3

Substituímos o numerador da expressão original usando o resultado do Passo 2:
\frac{1-\cos^{2} x}{\sin x} = \frac{\sin^{2} x}{\sin x}.
Agora aplicamos uma regra algébrica simples: para qualquer número (ou função) a com a\neq 0,
\frac{a^{2}}{a}=a.
Aqui a=\sin x. Então, desde que \sin x\neq 0, podemos cancelar um fator \sin x do numerador com o denominador e obter
\frac{\sin^{2} x}{\sin x}=\sin x.

Passo 4

Devemos explicitar a restrição de domínio: a simplificação por cancelamento só é válida quando o denominador original é diferente de zero. Portanto:
  • Para \sin x \neq 0 a expressão simplifica para \sin x.
  • Quando \sin x = 0 (por exemplo \,x=k\pi com k\in\mathbb{Z}), a expressão original \frac{1-\cos^{2} x}{\sin x} é indefinida, pois divide por zero.

Passo 5

Para fixar a ideia, confira dois exemplos numéricos rápidos:
  • Se x=\pi/6, então \sin x=1/2 e \cos x=\sqrt{3}/2. O numerador é 1-\cos^{2}x=1-(\sqrt{3}/2)^{2}=1-3/4=1/4. Assim a expressão vale (1/4)/(1/2)=1/2, que é exatamente \sin(\pi/6).
  • Se x=\pi, então \sin x=0 e a expressão original seria divisão por zero — portanto indefinida, conforme dito.

Resposta

\sin x para \sin x\neq 0.
Indefinida para \sin x=0.

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