Questão 3: Simplificação Trigonométrica
Simplifique as expressões abaixo:
\frac{\cos ^{2} x-\sin ^{2} x}{\cos x \sin x}.

Passo 1

O enunciado dá a expressão a ser simplificada:
\frac{\cos^{2} x - \sin^{2} x}{\cos x \sin x}.
Pergunta: simplificar essa expressão — isto é, escrever numa forma mais simples e reconhecível, mantendo igualdade sempre que a expressão estiver definida. Informação relevante: os símbolos \cos x e \sin x aparecem no denominador, logo devemos lembrar que a expressão só faz sentido quando \cos x \sin x \neq 0.

Passo 2

Antes de mexer na expressão, vamos revisar as identidades trigonométricas que usaremos (explicando cada uma com calma):
  • Definições básicas:
    \tan x é a razão entre seno e cosseno,
    \tan x = \frac{\sin x}{\cos x},
    e \cot x é a razão inversa,
    \cot x = \frac{\cos x}{\sin x}.
    Aqui \sin x e \cos x são as funções seno e cosseno do ângulo x. Essas definições só valem quando os denominadores não são zero (ou seja, \cos x \neq 0 para \tan x e \sin x \neq 0 para \cot x).
  • Identidade do ângulo duplo (muito útil):
    \cos 2x = \cos^{2} x - \sin^{2} x,
    e
    \sin 2x = 2\sin x\cos x.
    Essas fórmulas dizem como expressar funções de 2x em termos de funções de x. Vou usar ambas mais adiante.
Exemplo numérico rápido para fixar: se x=30^\circ então \sin x=\tfrac{1}{2}, \cos x=\tfrac{\sqrt{3}}{2}, \tan x=\tfrac{1}{\sqrt{3}}, \cot x=\sqrt{3}.

Passo 3

Primeira transformação direta (dividindo o numerador pelo denominador termo a termo):
Começo separando a fração em duas parcelas:
\frac{\cos^{2} x - \sin^{2} x}{\cos x \sin x} = \frac{\cos^{2} x}{\cos x \sin x} - \frac{\sin^{2} x}{\cos x \sin x}.
Agora simplifico cada fração cancelando fatores óbvios:
\frac{\cos^{2} x}{\cos x \sin x} = \frac{\cos x}{\sin x} \quad\text{e}\quad \frac{\sin^{2} x}{\cos x \sin x} = \frac{\sin x}{\cos x}.
Portanto
\frac{\cos^{2} x - \sin^{2} x}{\cos x \sin x} = \frac{\cos x}{\sin x} - \frac{\sin x}{\cos x}.

Passo 4

Usando as definições de \cot x e \tan x (explicadas no Passo 2), reescrevo as parcelas:
\frac{\cos x}{\sin x} = \cot x, \qquad \frac{\sin x}{\cos x} = \tan x.
Logo a expressão fica
\frac{\cos^{2} x - \sin^{2} x}{\cos x \sin x} = \cot x - \tan x.
Isto já é uma forma bem simplificada e útil na prova. Lembre-se da restrição: essa igualdade vale quando \sin x \neq 0 e \cos x \neq 0, ou seja quando \cos x \sin x \neq 0.

Passo 5

Mostro uma forma alternativa, também muito prática, usando as identidades de ângulo duplo (Passo 2), que nos dará outra expressão equivalente. Como vimos,
\cos^{2} x - \sin^{2} x = \cos 2x
e
\cos x \sin x = \tfrac{1}{2}\sin 2x.
Substituindo na fração:
\frac{\cos^{2} x - \sin^{2} x}{\cos x \sin x} = \frac{\cos 2x}{\tfrac{1}{2}\sin 2x} = 2\cdot\frac{\cos 2x}{\sin 2x} = 2\cot 2x.

Passo 6

Verificação de que as duas formas são realmente iguais (para nos deixar confiantes): partindo de \cot x - \tan x e colocando sobre um denominador comum,
\cot x - \tan x = \frac{\cos^{2} x - \sin^{2} x}{\sin x \cos x} = \frac{\cos 2x}{\tfrac{1}{2}\sin 2x} = 2\cot 2x.
Portanto as duas expressões que obtivemos são equivalentes:
\cot x - \tan x \;=\; 2\cot 2x,
sempre respeitando a condição de existência ( \cos x \sin x \neq 0 e \sin 2x \neq 0 quando escrever \cot 2x).

Passo 7

Resumo didático-final: as formas mais práticas e comuns para a simplificação são \cot x - \tan x e 2\cot 2x. Se quiser uma resposta rápida na prova, use \cot x - \tan x (é a transformação algébrica direta) ou então 2\cot 2x (se estiver usando identidades de ângulo duplo).

Resposta

\cot x - \tan x

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