Questão 3: Simplificação Trigonométrica
Simplifique as expressões abaixo:
.
Passo 1
O enunciado dá a expressão a ser simplificada:
Pergunta: simplificar essa expressão — isto é, escrever numa forma mais simples e reconhecível, mantendo igualdade sempre que a expressão estiver definida. Informação relevante: os símbolos
e
aparecem no denominador, logo devemos lembrar que a expressão só faz sentido quando
.
Passo 2
Antes de mexer na expressão, vamos revisar as identidades trigonométricas que usaremos (explicando cada uma com calma):
-
Definições básicas:
é a razão entre seno e cosseno, eé a razão inversa, Aquie são as funções seno e cosseno do ângulo . Essas definições só valem quando os denominadores não são zero (ou seja, para e para ). -
Identidade do ângulo duplo (muito útil):eEssas fórmulas dizem como expressar funções de
em termos de funções de . Vou usar ambas mais adiante.
Exemplo numérico rápido para fixar: se
então
,
,
,
.
Passo 3
Primeira transformação direta (dividindo o numerador pelo denominador termo a termo):
Começo separando a fração em duas parcelas:
Agora simplifico cada fração cancelando fatores óbvios:
Portanto
Passo 4
Usando as definições de
e
(explicadas no Passo 2), reescrevo as parcelas:
Logo a expressão fica
Isto já é uma forma bem simplificada e útil na prova. Lembre-se da restrição: essa igualdade vale quando
e
, ou seja quando
.
Passo 5
Mostro uma forma alternativa, também muito prática, usando as identidades de ângulo duplo (Passo 2), que nos dará outra expressão equivalente. Como vimos,
e
Substituindo na fração:
Passo 6
Verificação de que as duas formas são realmente iguais (para nos deixar confiantes): partindo de
e colocando sobre um denominador comum,
Portanto as duas expressões que obtivemos são equivalentes:
sempre respeitando a condição de existência (
e
quando escrever
).
Passo 7
Resumo didático-final: as formas mais práticas e comuns para a simplificação são
e
. Se quiser uma resposta rápida na prova, use
(é a transformação algébrica direta) ou então
(se estiver usando identidades de ângulo duplo).