Questão 3: Simplificação Trigonométrica
Simplifique as expressões abaixo:
\frac{\tan x}{\operatorname{sec} x}.

Passo 1

O enunciado pede para simplificar a expressão \frac{\tan x}{\operatorname{sec} x}.
Informações dadas: a expressão é exatamente \frac{\tan x}{\operatorname{sec} x} e devemos transformá-la numa forma mais simples (quando possível). Não há figura ou dado adicional.

Passo 2

Primeiro, vamos recordar definições básicas que vamos usar (é normal esquecer — respira, a gente resolve junto). As definições padrão das funções trigonométricas, em termos de seno e cosseno, são:
\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}
\operatorname{sec} x = \frac{1}{\cos x}
Aqui \sin x e \cos x são, respectivamente, o seno e o cosseno do ângulo x. Importante: essas definições só valem quando \cos x \neq 0, porque aparece \cos x no denominador.

Passo 3

Agora substituímos as definições na expressão original. Ou seja, trocamos \tan x por \dfrac{\sin x}{\cos x} e \operatorname{sec} x por \dfrac{1}{\cos x}. Isso nos dá:
\frac{\tan x}{\operatorname{sec} x} = \frac{\dfrac{\sin x}{\cos x}}{\dfrac{1}{\cos x}}

Passo 4

Dividir uma fração por outra é o mesmo que multiplicar a primeira pelo recíproco da segunda. Então
\frac{\dfrac{\sin x}{\cos x}}{\dfrac{1}{\cos x}} = \frac{\sin x}{\cos x}\cdot\frac{\cos x}{1}
(escrevi a segunda fração como seu recíproco \dfrac{\cos x}{1}).

Passo 5

Agora fazemos a multiplicação e simplificação algébrica. Ao multiplicar, o fator \cos x no numerador cancela com o \cos x no denominador (lembrando que isso é válido apenas se \cos x\neq 0):
\frac{\sin x}{\cos x}\cdot\frac{\cos x}{1} = \sin x.
Portanto a expressão simplifica para \sin x sempre que \cos x\neq 0.

Passo 6

Vamos checar com um exemplo numérico rapidinho para ganhar confiança: tome x=\dfrac{\pi}{6}. Temos \tan\!\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{1}{\sqrt{3}} e \operatorname{sec}\!\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{1}{\cos(\pi/6)}=\dfrac{1}{\sqrt{3}/2}=\dfrac{2}{\sqrt{3}}. A razão é
\frac{\tan(\pi/6)}{\operatorname{sec}(\pi/6)}=\frac{1/\sqrt{3}}{2/\sqrt{3}}=\frac{1}{2},
e \sin(\pi/6)=\dfrac{1}{2}. Confere com o resultado \sin x.

Resposta

\sin x para \cos x \neq 0

Exercícios relacionados