Questão 3: Simplificação Trigonométrica
Simplifique as expressões abaixo:
.
Passo 1
O enunciado pede para simplificar a expressão
.
Informações dadas: a expressão é exatamente e devemos transformá-la numa forma mais simples (quando possível). Não há figura ou dado adicional.
Informações dadas: a expressão é exatamente
Passo 2
Primeiro, vamos recordar definições básicas que vamos usar (é normal esquecer — respira, a gente resolve junto). As definições padrão das funções trigonométricas, em termos de seno e cosseno, são:
Aqui
e
são, respectivamente, o seno e o cosseno do ângulo
. Importante: essas definições só valem quando
, porque aparece
no denominador.
Passo 3
Agora substituímos as definições na expressão original. Ou seja, trocamos
por
e
por
. Isso nos dá:
Passo 4
Dividir uma fração por outra é o mesmo que multiplicar a primeira pelo recíproco da segunda. Então
(escrevi a segunda fração como seu recíproco
).
Passo 5
Agora fazemos a multiplicação e simplificação algébrica. Ao multiplicar, o fator
no numerador cancela com o
no denominador (lembrando que isso é válido apenas se
):
Portanto a expressão simplifica para
sempre que
.
Passo 6
Vamos checar com um exemplo numérico rapidinho para ganhar confiança: tome
. Temos
e
. A razão é
e
. Confere com o resultado
.