Questão 3: Simplificação Trigonométrica
Simplifique as expressões abaixo:
\sin x \operatorname{sec} x+\cos x \csc x.

Passo 1

O enunciado pede para simplificar a expressão \sin x \operatorname{sec} x+\cos x \csc x.
Informações dadas: a expressão é composta por funções trigonométricas básicas ( \sin, \cos, \operatorname{sec}, \csc) e não há condições adicionais sobre x (presumimos x tal que as expressões estejam definidas, ou seja, \sin x\neq0 e \cos x\neq0 quando necessário).

Passo 2

Vamos recordar identidades e definições que usaremos (explicadas de forma bem direta):
  • A função secante é o recíproco do cosseno: \operatorname{sec} x = \dfrac{1}{\cos x}. Isso significa que multiplicar por \operatorname{sec} x é o mesmo que dividir por \cos x.
  • A função cosecante é o recíproco do seno: \csc x = \dfrac{1}{\sin x}. Multiplicar por \csc x é o mesmo que dividir por \sin x.
  • Tangente e cotangente podem ser escritas como quocientes: \tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x} e \cot x = \dfrac{\cos x}{\sin x}.
  • Identidade pitagórica fundamental: \sin^{2}x+\cos^{2}x=1.
    Vou usar essas relações passo a passo, explicando cada troca.

Passo 3

Substituo \operatorname{sec} x e \csc x pelos recíprocos para deixar tudo em termos de \sin e \cos:
\sin x \operatorname{sec} x+\cos x \csc x = \sin x\cdot\frac{1}{\cos x} + \cos x\cdot\frac{1}{\sin x}.
Aqui apenas apliquei as definições \operatorname{sec} x=\dfrac{1}{\cos x} e \csc x=\dfrac{1}{\sin x}.

Passo 4

Simplifico cada termo:
\sin x\cdot\frac{1}{\cos x} = \frac{\sin x}{\cos x} = \tan x,
\cos x\cdot\frac{1}{\sin x} = \frac{\cos x}{\sin x} = \cot x.
Portanto a soma fica
\tan x + \cot x.
Comentário rápido: reconhecer \frac{\sin x}{\cos x} e \frac{\cos x}{\sin x} como \tan x e \cot x torna a expressão mais familiar, mas ainda precisamos simplificar mais.

Passo 5

Coloco \tan x + \cot x sobre um denominador comum para combinar em uma única fração. Usando as frações originais:
\tan x + \cot x = \frac{\sin x}{\cos x} + \frac{\cos x}{\sin x}.
Denominador comum é \sin x\cos x. Passo a passo:
\frac{\sin x}{\cos x} = \frac{\sin^{2}x}{\sin x\cos x},\qquad \frac{\cos x}{\sin x} = \frac{\cos^{2}x}{\sin x\cos x}.
Somando:
\frac{\sin^{2}x}{\sin x\cos x} + \frac{\cos^{2}x}{\sin x\cos x} = \frac{\sin^{2}x+\cos^{2}x}{\sin x\cos x}.

Passo 6

Agora uso a identidade pitagórica \sin^{2}x+\cos^{2}x=1 (isso é uma igualdade verdadeira para todo x). Substituindo no numerador:
\frac{\sin^{2}x+\cos^{2}x}{\sin x\cos x} = \frac{1}{\sin x\cos x}.
Então a expressão original simplifica para \dfrac{1}{\sin x\cos x}.

Passo 7

Mostro formas equivalentes e por que são úteis:
  • Como \dfrac{1}{\sin x\cos x} = \operatorname{sec} x \csc x (porque \operatorname{sec} x=\dfrac{1}{\cos x} e \csc x=\dfrac{1}{\sin x}), outra forma compacta é \operatorname{sec} x \csc x.
  • Usando a identidade do ângulo duplo \sin 2x = 2\sin x\cos x, podemos também escrever
\frac{1}{\sin x\cos x} = \frac{2}{2\sin x\cos x} = \frac{2}{\sin 2x},
desde que \sin 2x\neq0. Essa forma às vezes é útil quando se trabalha com ângulos duplos.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{\sin x\cos x}

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