Questão 3: Simplificação Trigonométrica
Simplifique as expressões abaixo:
.
Passo 1
O enunciado pede para simplificar a expressão
.
Informações dadas: a expressão é composta por funções trigonométricas básicas ( ,
,
,
) e não há condições adicionais sobre
(presumimos
tal que as expressões estejam definidas, ou seja,
e
quando necessário).
Informações dadas: a expressão é composta por funções trigonométricas básicas (
Passo 2
Vamos recordar identidades e definições que usaremos (explicadas de forma bem direta):
- A função secante é o recíproco do cosseno:
. Isso significa que multiplicar por é o mesmo que dividir por . - A função cosecante é o recíproco do seno:
. Multiplicar por é o mesmo que dividir por . - Tangente e cotangente podem ser escritas como quocientes:
e . - Identidade pitagórica fundamental:
.
Vou usar essas relações passo a passo, explicando cada troca.
Passo 3
Substituo
e
pelos recíprocos para deixar tudo em termos de
e
:
Aqui apenas apliquei as definições
e
.
Passo 4
Simplifico cada termo:
Portanto a soma fica
Comentário rápido: reconhecer
e
como
e
torna a expressão mais familiar, mas ainda precisamos simplificar mais.
Passo 5
Coloco
sobre um denominador comum para combinar em uma única fração. Usando as frações originais:
Denominador comum é
. Passo a passo:
Somando:
Passo 6
Agora uso a identidade pitagórica
(isso é uma igualdade verdadeira para todo
). Substituindo no numerador:
Então a expressão original simplifica para
.
Passo 7
Mostro formas equivalentes e por que são úteis:
- Como
(porque e ), outra forma compacta é . - Usando a identidade do ângulo duplo
, podemos também escrever
desde que
. Essa forma às vezes é útil quando se trabalha com ângulos duplos.