Questão 3: Simplificação Trigonométrica
Simplifique as expressões abaixo:
\sin (\pi / 2-x)+\cos (\pi / 2+x).

Passo 1

O enunciado pede para simplificar a expressão
\sin\!\left(\frac{\pi}{2}-x\right) + \cos\!\left(\frac{\pi}{2}+x\right).
Informações dadas:
\displaystyle x é a variável da expressão (presumimos x\in\mathbb{R}).
A tarefa é reduzir essa soma de funções trigonométricas a uma forma mais simples (uma expressão trigonométrica equivalente, mas mais compacta).

Passo 2

Vamos usar as fórmulas de adição e subtração para seno e cosseno. Essas fórmulas dizem, para quaisquer ângulos \alpha e \beta:
\sin(\alpha\pm\beta)=\sin\alpha\cos\beta\pm\cos\alpha\sin\beta
\cos(\alpha\pm\beta)=\cos\alpha\cos\beta\mp\sin\alpha\sin\beta
Aqui cada variável significa:
  • \alpha e \beta são ângulos quaisquer;
  • \sin e \cos têm seus valores usuais no círculo trigonométrico;
    essas fórmulas vêm diretamente da geometria do círculo unitário ou da decomposição projetiva entre eixos.

Passo 3

Aplicamos a fórmula de subtração do seno em \sin\!\left(\frac{\pi}{2}-x\right). Tomando \alpha=\frac{\pi}{2} e \beta=x,
\sin\!\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\sin\!\left(\frac{\pi}{2}\right)\cos x - \cos\!\left(\frac{\pi}{2}\right)\sin x.
Sabemos que \sin\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=1 e \cos\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=0. Substituindo esses valores na expressão acima obtemos uma forma mais simples (não escrevo a soma final ainda, conforme instruções):
\sin\!\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\cos x.

Passo 4

Agora aplicamos a fórmula de adição do cosseno em \cos\!\left(\frac{\pi}{2}+x\right). Tomando \alpha=\frac{\pi}{2} e \beta=x,
\cos\!\left(\frac{\pi}{2}+x\right)=\cos\!\left(\frac{\pi}{2}\right)\cos x - \sin\!\left(\frac{\pi}{2}\right)\sin x.
Usando \cos\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=0 e \sin\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=1, obtemos a forma simplificada parcial:
\cos\!\left(\frac{\pi}{2}+x\right)=-\sin x.

Passo 5

Somando as duas expressões simplificadas obtidas nos passos anteriores (sem repetir a resposta final aqui), concluímos a forma equivalente simplificada da soma original. Como dica adicional de didática: uma forma alternativa equivalente e muitas vezes útil é escrever a soma resultante como uma única função trigonométrica com amplitude, por exemplo usando a identidade
\cos x-\sin x=\sqrt{2}\cos\!\left(x+\frac{\pi}{4}\right),
que se obtém usando \cos\!\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=\frac{1}{\sqrt{2}}(\cos x-\sin x).

Resposta

\cos x - \sin x

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