Questão 3: Simplificação Trigonométrica
Simplifique as expressões abaixo:
.
Passo 1
O enunciado pede para simplificar a expressão
Informações dadas:
é a variável da expressão (presumimos
).
A tarefa é reduzir essa soma de funções trigonométricas a uma forma mais simples (uma expressão trigonométrica equivalente, mas mais compacta).
A tarefa é reduzir essa soma de funções trigonométricas a uma forma mais simples (uma expressão trigonométrica equivalente, mas mais compacta).
Passo 2
Vamos usar as fórmulas de adição e subtração para seno e cosseno. Essas fórmulas dizem, para quaisquer ângulos
e
:
Aqui cada variável significa:
-
e são ângulos quaisquer; -
e têm seus valores usuais no círculo trigonométrico;
essas fórmulas vêm diretamente da geometria do círculo unitário ou da decomposição projetiva entre eixos.
Passo 3
Aplicamos a fórmula de subtração do seno em
. Tomando
e
,
Sabemos que
e
. Substituindo esses valores na expressão acima obtemos uma forma mais simples (não escrevo a soma final ainda, conforme instruções):
Passo 4
Agora aplicamos a fórmula de adição do cosseno em
. Tomando
e
,
Usando
e
, obtemos a forma simplificada parcial:
Passo 5
Somando as duas expressões simplificadas obtidas nos passos anteriores (sem repetir a resposta final aqui), concluímos a forma equivalente simplificada da soma original. Como dica adicional de didática: uma forma alternativa equivalente e muitas vezes útil é escrever a soma resultante como uma única função trigonométrica com amplitude, por exemplo usando a identidade
que se obtém usando
.