Questão 1: Um sistema possui 2 componentes com distribuição de falhas independentes e conectados em paralelo. O primeiro componente possui distribuição de falhas Exponencial com taxa de falhas igual a 0,0003 . O segundo possui taxa de falhas dada por h(t)=\frac{t}{5 \times 10^{6}}. Encontre a probabilidade de sistema falhar após 50 horas de operação. Caso tenha um outro componente cuja probabilidade de falhar nessas 50 horas seja de 0.11 e estando esse componente ligado em série com o sistema anterior, qual a confiabilidade desse novo sistema?

Passo 1

O sistema original tem dois componentes independentes em paralelo e queremos a probabilidade de falha até t=50 h.
  • Componente 1: distribuição Exponencial com taxa \lambda=0,0003.
  • Componente 2: taxa de falha variável h(t)=\dfrac{t}{5\times10^{6}}.
    Em paralelo, o sistema falha se ambos os componentes falharem até 50 h.
    Depois, esse bloco em paralelo fica em série com um terceiro componente que tem probabilidade de falhar em 50 h igual a 0,11. Vamos achar (a) P_{\text{falha, paralelo}}(50) e (b) a confiabilidade do conjunto em série.

Passo 2

Calcular a função de falha do componente 1 em 50 h. Para Exponencial vale
F_{1}(t)=1 - e^{-\lambda\,t}
Logo,
F_{1}(50)=1 - e^{-0,0003\cdot 50} =1 - e^{-0,015} \approx 1 - 0,98511 =0,01489.

Passo 3

Calcular a função de falha do componente 2 em 50 h a partir de h(t). Primeiro a sobrevivência
S_{2}(t) =e^{-\int_{0}^{t}h(u)\,du} =e^{-\int_{0}^{t}\frac{u}{5\times10^{6}}\,du} =e^{-\frac{t^{2}}{2\cdot 5\times10^{6}}} =e^{-\frac{t^{2}}{10^{7}}}.
Então
F_{2}(t)=1 - S_{2}(t) =1 - e^{-\frac{t^{2}}{10^{7}}} \quad\Longrightarrow\quad F_{2}(50)=1 - e^{-\frac{50^{2}}{10^{7}}} =1 - e^{-0,00025} \approx 0,00024997.

Passo 4

Como os componentes estão em paralelo, o sistema falha se os dois falharem até 50 h. Pela independência,
P_{\text{falha, paralelo}}(50) =F_{1}(50)\,\times\,F_{2}(50) \approx 0,01489 \times 0,00024997 \approx 3{,}72\times10^{-6}.
A confiabilidade desse bloco paralelo em 50 h é
R_{\text{paralelo}}(50) =1 - P_{\text{falha, paralelo}}(50) \approx 1 - 3{,}72\times10^{-6} \approx 0{,}99999628.

Passo 5

Agora esse bloco paralelo está em série com o componente 3, cuja probabilidade de falhar em 50 h é 0{,}11, logo sua confiabilidade é 0{,}89. Em série, a confiabilidade total é o produto:
R_{\text{série}}(50) =R_{\text{paralelo}}(50)\times 0{,}89 \approx 0{,}99999628\times0{,}89 \approx 0{,}889996.é

Resposta

Probabilidade de falha do sistema em paralelo até 50 h: aproximadamente 3{,}72\times10^{-6}.
Confiabilidade do novo sistema (em série com o terceiro componente) em 50 h: aproximadamente 0{,}889996.

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