Calcule as integrais:
(f) \int_{0}^{\infty} \frac{d x}{\sqrt[4]{1+x}}

Passo 1

O enunciado pede a integral imprópria
\int_{0}^{\infty}\frac{dx}{\sqrt[4]{1+x}}
ou seja, \displaystyle\int_{0}^{\infty}(1+x)^{-1/4}dx.
Para analisar se converge e, em caso afirmativo, calcular o valor, precisamos achar a primitiva de (1+x)^{-1/4} e depois verificar o comportamento quando x\to\infty.

Passo 2

Vamos fazer a substituição simples t=1+x, de modo que dt=dx. Os limites em x vão de 0 a \infty, então em t vão de 1 a \infty. A integral fica
\int_{0}^{\infty}(1+x)^{-1/4}dx = \int_{1}^{\infty}t^{-1/4}dt.
Agora achamos a primitiva de t^{-1/4}. Como -\tfrac14+1=\tfrac34, uma primitiva é
\int t^{-1/4}dt =\frac{t^{3/4}}{3/4} =\frac{4}{3}\,t^{3/4}.

Passo 3

Aplicando o teorema fundamental do cálculo e fazendo t\to\infty, temos
\int_{1}^{\infty}t^{-1/4}dt =\lim_{T\to\infty}\biggl[\frac{4}{3}\,t^{3/4}\biggr]_{t=1}^{t=T} =\lim_{T\to\infty}\Bigl(\frac{4}{3}T^{3/4}-\frac{4}{3}\Bigr).
Como T^{3/4}\to\infty quando T\to\infty, o resultado também diverge para +\infty. Portanto a integral não converge.

Resposta

A integral diverge (é igual a +\infty).

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