(5 pontos) A função
resolve a equação diferencial
com condições iniciais
e
. Entāo,
é igual a:
A)
B)
C) 1
D)
e)
A)
B)
C) 1
D)
e)
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a função
que satisfaz a equação diferencial
com condições iniciais
e
, e em seguida calcular
. O conteúdo envolvido é equações diferenciais lineares de segunda ordem, cuja solução geral é a soma da solução complementar (homogênea) e de uma solução particular.
Passo 2
Encontramos primeiro a solução complementar
da equação homogênea
A equação característica é
, com raízes
. Logo
Passo 3
Agora buscamos uma solução particular
para
Como o termo não homogêneo é um polinômio de grau 1, tentamos
Então
e
. Substituindo na equação:
Comparando coeficientes, obtemos
Portanto
Passo 4
A solução geral da equação é
Passo 5
Aplicamos as condições iniciais para determinar
e
.
- Em
:
- A derivada é
Em
:
Passo 6
Substituindo
e
, a solução é
Para
:
Resposta
e)