(5 pontos) A função f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} resolve a equação diferencial y^{\prime \prime}+4 y=x com condições iniciais f(0)=1 e f^{\prime}(0)=1. Entāo, f(\pi) é igual a:
A) 1+4 \pi
B) 4 \pi
C) 1
D) 1-4 \pi
e) 1+\frac{\pi}{4}

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a função f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R} que satisfaz a equação diferencial
y'' + 4y = x
com condições iniciais f(0)=1 e f'(0)=1, e em seguida calcular f(\pi). O conteúdo envolvido é equações diferenciais lineares de segunda ordem, cuja solução geral é a soma da solução complementar (homogênea) e de uma solução particular.

Passo 2

Encontramos primeiro a solução complementar y_c da equação homogênea
y'' + 4y = 0.
A equação característica é r^2 + 4 = 0, com raízes r=\pm 2i. Logo
y_c = A\cos(2x) + B\sin(2x).

Passo 3

Agora buscamos uma solução particular y_p para
y'' + 4y = x.
Como o termo não homogêneo é um polinômio de grau 1, tentamos
y_p = Cx + D.
Então y_p' = C e y_p''=0. Substituindo na equação:
0 + 4\,(Cx + D) = x \quad\Longrightarrow\quad 4C\,x + 4D = x.
Comparando coeficientes, obtemos
4C = 1 \quad\text{e}\quad 4D = 0 \;\;\Longrightarrow\;\; C = \tfrac14,\;D=0.
Portanto
y_p = \frac{x}{4}.

Passo 4

A solução geral da equação é
y = y_c + y_p = A\cos(2x) + B\sin(2x) + \frac{x}{4}.

Passo 5

Aplicamos as condições iniciais para determinar A e B.
  1. Em x=0:
y(0) = A\cos(0) + B\sin(0) + 0 = A = 1.
  1. A derivada é
y' = -2A\sin(2x) + 2B\cos(2x) + \frac1{4}.
Em x=0:
y'(0) = -2A\cdot0 + 2B\cdot1 + \frac1{4} = 2B + \frac1{4} = 1 \quad\Longrightarrow\quad 2B = \frac{3}{4} \;\;\Longrightarrow\;\; B = \frac{3}{8}.

Passo 6

Substituindo A=1 e B=\tfrac{3}{8}, a solução é
f(x) = \cos(2x) + \frac{3}{8}\sin(2x) + \frac{x}{4}.
Para x=\pi:
f(\pi) = \cos(2\pi) + \frac{3}{8}\sin(2\pi) + \frac{\pi}{4} = 1 + 0 + \frac{\pi}{4} = 1 + \frac{\pi}{4}.

Resposta

e) 1+\frac{\pi}{4}

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