Calcule as integrais:
(e) \int_{-2}^{0} \frac{d x}{x+1}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral imprópria
\int_{-2}^{0}\frac{dx}{x+1},
que tem descontinuidade em x=-1. Vamos usar o conceito de integral imprópria: dividir o intervalo no ponto singular e estudar os limites de cada parte.

Passo 2

Como x=-1 está no interior de [-2,0], escrevemos
\int_{-2}^{0}\frac{dx}{x+1} =\int_{-2}^{-1}\frac{dx}{x+1} +\int_{-1}^{0}\frac{dx}{x+1}
no sentido de limites:
\int_{-2}^{-1}\frac{dx}{x+1} =\lim_{a\to(-1)^-}\int_{-2}^{a}\frac{dx}{x+1},
\int_{-1}^{0}\frac{dx}{x+1} =\lim_{b\to(-1)^+}\int_{b}^{0}\frac{dx}{x+1}.

Passo 3

Sabendo que
\int\frac{dx}{x+1}=\ln\bigl|x+1\bigr|+C,
avaliamos cada parte:
\int_{-2}^{a}\frac{dx}{x+1} =\Bigl[\ln\bigl|x+1\bigr|\Bigr]_{x=-2}^{x=a} =\ln\bigl|a+1\bigr|-\ln1 =\ln\bigl|a+1\bigr|.
Tomando a\to(-1)^-, fica \ln|a+1|\to\ln0^+=-\infty.

Passo 4

Para a segunda parte,
\int_{b}^{0}\frac{dx}{x+1} =\Bigl[\ln\bigl|x+1\bigr|\Bigr]_{x=b}^{x=0} =\ln1-\ln\bigl|b+1\bigr| =-\ln\bigl|b+1\bigr|.
Tomando b\to(-1)^+, fica -\ln|b+1|\to-(-\infty)=+\infty. Como uma parte diverge para -\infty e a outra para +\infty, a integral total não converge.

Resposta

A integral diverge (não existe valor finito).

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