Questão 2. Para o mesmo sistema da questão anterior, sendo L(t)=2+\cos (t), \theta(t)=0.5 t e \beta(t)=0.5+t-0.1 t^{2}, usando os valores dos ângulos em radianos, encontre:
a) O módulo do vetor posição do ponto B.
b) O módulo do vetor velocidade do ponto B.
c) O módulo do vetor aceleração do ponto B.

Passo 1

O enunciado dá as funções temporais
L(t)=2+\cos t,\quad \theta(t)=0{,}5\,t,\quad \beta(t)=0{,}5+t-0{,}1t^{2},
usando ângulos em radianos, e pede:
a) o módulo do vetor posição do ponto B,
b) o módulo do vetor velocidade do ponto B,
c) o módulo do vetor aceleração do ponto B.
Informações relevantes fornecidas: L(t), \theta(t) e \beta(t) são funções do tempo, com valores em radianos quando são ângulos.
Informação que falta (crucial): o enunciado se refere ao “mesmo sistema da questão anterior” — ou seja, falta aqui a definição geométrica de como o ponto B é determinado por L, \theta e \beta. Em particular, não está claro se:
  • L(t) é a distância radial do ponto B à origem (coordenadas polares), ou
  • L(t) é o comprimento de uma barra/ligação entre pontos (e \theta,\beta são ângulos relativos), ou
  • B é obtido como soma vetorial de dois segmentos com comprimentos e ângulos diferentes, etc.
Sem essa definição geométrica (ou a figura/sistema da questão anterior) não há como determinar unicamente as expressões corretas para posição, velocidade e aceleração de B. A resolução real depende diretamente dessa relação geométrica.

Passo 2

O que seria necessário para resolver unicamente a questão:
  • a definição explícita da posição de B em termos de L(t),\\ \theta(t),\\ \beta(t); por exemplo uma expressão do tipo \vec r_B(t)=\big(\,x(t),y(t)\,\big) com x,y em função de L,\theta,\beta, ou uma figura que identifique se \theta é o ângulo absoluto, se \beta é ângulo relativo, se L é radial etc.
    Sem essa informação, qualquer expressão que eu der será uma suposição que pode não corresponder ao que o professor pediu.

Passo 3

Para você aprender o método (mesmo sem a figura), vou mostrar a resolução completa num caso muito comum e simples — atenção: isto é um exemplo didático ASSUMINDO que a posição de B está dada em coordenadas polares por r=L(t) e ângulo \theta(t). Se o seu sistema for diferente, os passos serão análogos mas as fórmulas mudam conforme a geometria.
Assumção (hipotética): a posição de B em coordenadas cartesianas é
\vec r_B(t)=L(t)\cos\big(\theta(t)\big)\,\mathbf{i}+L(t)\sin\big(\theta(t)\big)\,\mathbf{j}.
Aqui L(t) é a distância radial de B à origem, e \theta(t) é o ângulo com o eixo x. (Repito: isto é uma hipótese didática.)

Passo 4

Módulo do vetor posição (no caso hipotético acima).
Explicação do conceito: o módulo do vetor posição \vec r_B é a distância do ponto B à origem, dada por \|\vec r_B\|=\sqrt{x^2+y^2} quando \vec r_B=(x,y).
Aplicando à nossa assunção:
x(t)=L(t)\cos\theta(t),\qquad y(t)=L(t)\sin\theta(t),
portanto
\|\vec r_B(t)\|=\sqrt{\big(L\cos\theta\big)^2+\big(L\sin\theta\big)^2}=\sqrt{L^2(\cos^2\theta+\sin^2\theta)}=L(t).
Conclusão (no modelo polar): o módulo da posição é simplesmente
\boxed{\|\vec r_B(t)\|=L(t)=2+\cos t.}
Comentário: isto é óbvio em coordenadas polares — o módulo radial é exatamente L(t).

Passo 5

Módulo do vetor velocidade (no caso hipotético).
Conceito/fórmula usada: Derivando componente a componente, a velocidade é \vec v_B=\dot x\,\mathbf{i}+\dot y\,\mathbf{j}. É comum em coordenadas polares usar a decomposição
\vec v_B=\dot L\,\hat e_r+L\dot\theta\,\hat e_\theta,
ou fazer a derivada direta dos componentes cartesianas.
Derivada direta dos componentes:
\dot x=\dot L\cos\theta - L\dot\theta\sin\theta,
\dot y=\dot L\sin\theta + L\dot\theta\cos\theta.
Agora o módulo:
\|\vec v_B\|=\sqrt{\dot x^{2}+\dot y^{2}} =\sqrt{\dot L^{2}+L^{2}\dot\theta^{2}},
porque os termos mistos se cancelam (mostro rapidamente: ao somar os quadrados, os termos \dot L^{2}(\cos^{2}+\sin^{2}) e L^{2}\dot\theta^{2}(\sin^{2}+\cos^{2}) permanecem e os cruzamentos somam zero).
Agora substituímos as funções dadas:
\dot L(t) = \frac{d}{dt}\big(2+\cos t\big) = -\sin t, \qquad \dot\theta(t)=\frac{d}{dt}\big(0{,}5t\big)=0{,}5.
Portanto (no modelo polar):
\boxed{\;\|\vec v_B(t)\|=\sqrt{(-\sin t)^{2}+\big(2+\cos t\big)^{2}(0{,}5)^{2}} =\sqrt{\sin^{2}t+\tfrac{1}{4}\big(2+\cos t\big)^{2}}\; .\!}

Passo 6

Módulo do vetor aceleração (no caso hipotético).
Conceito/fórmula usada: uma forma compacta em coordenadas polares para a aceleração é
\vec a_B=\big(\ddot L-L\dot\theta^{2}\big)\hat e_r+\big(L\ddot\theta+2\dot L\dot\theta\big)\hat e_\theta.
Logo o módulo é
\|\vec a_B\|=\sqrt{\big(\ddot L-L\dot\theta^{2}\big)^{2}+\big(L\ddot\theta+2\dot L\dot\theta\big)^{2}}.
Calculemos as derivadas necessárias para as funções dadas:
\dot L=-\sin t,\qquad \ddot L=-\cos t,
\dot\theta=0{,}5,\qquad \ddot\theta=0.
Substituindo:
componente radial
\ddot L-L\dot\theta^{2}=-\cos t - (2+\cos t)\,(0{,}5)^{2} =-\cos t - \tfrac{1}{4}(2+\cos t).
Fazendo as contas:
-\cos t - \tfrac{1}{4}(2+\cos t) = -\cos t - \tfrac{1}{2} - \tfrac{1}{4}\cos t = -\tfrac{5}{4}\cos t - \tfrac{1}{2}.
componente transversal
L\ddot\theta+2\dot L\dot\theta = (2+\cos t)\cdot 0 + 2(-\sin t)(0{,}5) = -\sin t.
Portanto (no modelo polar)
\boxed{\;\|\vec a_B(t)\| =\sqrt{\Big(-\tfrac{5}{4}\cos t - \tfrac{1}{2}\Big)^{2}+(-\sin t)^{2}} =\sqrt{\Big(\tfrac{5}{4}\cos t + \tfrac{1}{2}\Big)^{2}+\sin^{2}t}\; .\!}
(ou seja, o sinal interno ao quadrado não importa; escrevi de forma a mostrar a forma final).

Passo 7

Resumo importante e conclusão didática:
  • Tudo o que calculei nos Passos 4–6 segue da hipótese de que a posição de B é dada por \vec r_B=L(\cos\theta,\sin\theta). Se o seu sistema for exatamente esse (isto é, L é o raio e \theta o ângulo absoluto), então as respostas acima são as corretas expressões em função de t.
  • Se, no entanto, a geometria for diferente (por exemplo se \beta também participa da definição de posição de B, ou se L for comprimento de uma barra conectada a outro ponto, etc.), então as fórmulas mudam e precisamos da figura/descrição do sistema da questão anterior para dar a resposta correta.
Eu sei que faltam poucos dias para a prova e que isso aumenta a ansiedade — você já está fazendo a coisa certa ao buscar entender passo a passo. Se você me enviar a figura ou a definição exata de como B depende de L,\theta,\beta (por exemplo a expressão vetorial \vec r_B ou desenho do mecanismo), eu refaço a resolução imediatamente para o caso correto.

Resposta

Não é possível determinar unicamente os módulos pedidos porque falta a definição geométrica que relaciona o ponto B a L(t), \theta(t) e \beta(t); é preciso a expressão explícita de \vec r_B(t) ou a figura do sistema para resolver.

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