Questão 2. Para o mesmo sistema da questão anterior, sendo
e
, usando os valores dos ângulos em radianos, encontre:
a) O módulo do vetor posição do ponto
.
b) O módulo do vetor velocidade do ponto
.
c) O módulo do vetor aceleração do ponto
.
a) O módulo do vetor posição do ponto
b) O módulo do vetor velocidade do ponto
c) O módulo do vetor aceleração do ponto
Passo 1
O enunciado dá as funções temporais
usando ângulos em radianos, e pede:
a) o módulo do vetor posição do ponto ,
b) o módulo do vetor velocidade do ponto ,
c) o módulo do vetor aceleração do ponto .
a) o módulo do vetor posição do ponto
b) o módulo do vetor velocidade do ponto
c) o módulo do vetor aceleração do ponto
Informações relevantes fornecidas:
,
e
são funções do tempo, com valores em radianos quando são ângulos.
Informação que falta (crucial): o enunciado se refere ao “mesmo sistema da questão anterior” — ou seja, falta aqui a definição geométrica de como o ponto
é determinado por
,
e
. Em particular, não está claro se:
-
é a distância radial do ponto à origem (coordenadas polares), ou -
é o comprimento de uma barra/ligação entre pontos (e são ângulos relativos), ou -
é obtido como soma vetorial de dois segmentos com comprimentos e ângulos diferentes, etc.
Sem essa definição geométrica (ou a figura/sistema da questão anterior) não há como determinar unicamente as expressões corretas para posição, velocidade e aceleração de
. A resolução real depende diretamente dessa relação geométrica.
Passo 2
O que seria necessário para resolver unicamente a questão:
- a definição explícita da posição de
em termos de ; por exemplo uma expressão do tipo com em função de , ou uma figura que identifique se é o ângulo absoluto, se é ângulo relativo, se é radial etc.
Sem essa informação, qualquer expressão que eu der será uma suposição que pode não corresponder ao que o professor pediu.
Passo 3
Para você aprender o método (mesmo sem a figura), vou mostrar a resolução completa num caso muito comum e simples — atenção: isto é um exemplo didático ASSUMINDO que a posição de
está dada em coordenadas polares por
e ângulo
. Se o seu sistema for diferente, os passos serão análogos mas as fórmulas mudam conforme a geometria.
Assumção (hipotética): a posição de
em coordenadas cartesianas é
Aqui
é a distância radial de
à origem, e
é o ângulo com o eixo
. (Repito: isto é uma hipótese didática.)
Passo 4
Módulo do vetor posição (no caso hipotético acima).
Explicação do conceito: o módulo do vetor posição
é a distância do ponto
à origem, dada por
quando
.
Aplicando à nossa assunção:
portanto
Conclusão (no modelo polar): o módulo da posição é simplesmente
Comentário: isto é óbvio em coordenadas polares — o módulo radial é exatamente
.
Passo 5
Módulo do vetor velocidade (no caso hipotético).
Conceito/fórmula usada: Derivando componente a componente, a velocidade é
. É comum em coordenadas polares usar a decomposição
ou fazer a derivada direta dos componentes cartesianas.
Derivada direta dos componentes:
Agora o módulo:
porque os termos mistos se cancelam (mostro rapidamente: ao somar os quadrados, os termos
e
permanecem e os cruzamentos somam zero).
Agora substituímos as funções dadas:
Portanto (no modelo polar):
Passo 6
Módulo do vetor aceleração (no caso hipotético).
Conceito/fórmula usada: uma forma compacta em coordenadas polares para a aceleração é
Logo o módulo é
Calculemos as derivadas necessárias para as funções dadas:
Substituindo:
componente radial
componente radial
Fazendo as contas:
componente transversal
Portanto (no modelo polar)
(ou seja, o sinal interno ao quadrado não importa; escrevi de forma a mostrar a forma final).
Passo 7
Resumo importante e conclusão didática:
- Tudo o que calculei nos Passos 4–6 segue da hipótese de que a posição de
é dada por . Se o seu sistema for exatamente esse (isto é, é o raio e o ângulo absoluto), então as respostas acima são as corretas expressões em função de . - Se, no entanto, a geometria for diferente (por exemplo se
também participa da definição de posição de , ou se for comprimento de uma barra conectada a outro ponto, etc.), então as fórmulas mudam e precisamos da figura/descrição do sistema da questão anterior para dar a resposta correta.
Eu sei que faltam poucos dias para a prova e que isso aumenta a ansiedade — você já está fazendo a coisa certa ao buscar entender passo a passo. Se você me enviar a figura ou a definição exata de como
depende de
(por exemplo a expressão vetorial
ou desenho do mecanismo), eu refaço a resolução imediatamente para o caso correto.
Resposta
Não é possível determinar unicamente os módulos pedidos porque falta a definição geométrica que relaciona o ponto
a
,
e
; é preciso a expressão explícita de
ou a figura do sistema para resolver.