Questão 1 - Soluções fundamentais e wronskiano
Considere a equação diferencial:
t^2 y^prime prime-4 t y^prime+6 y=0
Calcule o Wronskiano de y1(t)=t^2 e y2(t)=t^3, usando o determinante da matriz de Wronskiano.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente calcular o Wronskiano de duas funções que são soluções de uma equação diferencial. O Wronskiano é uma ferramenta que ajuda a verificar se essas soluções são lineares independentes, ou seja, se elas realmente formam uma base de soluções. Para resolver isso, a gente vai precisar saber como calcular derivadas e como montar e calcular determinantes de matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções que a gente tem: $ y_1(t) = t^2 $ e $ y_2(t) = t^3 $. O Wronskiano é calculado usando uma matriz que envolve essas funções e suas derivadas. Então, vamos precisar achar as primeiras derivadas de cada função.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas:
  • A derivada de $ y_1(t) = t^2 $ é $ y_1’(t) = 2t $.
  • A derivada de $ y_2(t) = t^3 $ é $ y_2’(t) = 3t^2 $.

Passo 4

Agora, vamos montar a matriz do Wronskiano usando essas funções e suas derivadas:
W(t) = y1(t) & y2(t) y1'(t) & y2'(t) = t^2 & t^3 2t & 3t^2

Passo 5

Para encontrar o Wronskiano, a gente calcula o determinante dessa matriz. O determinante de uma matriz 2x2 é dado por:
Determinante = (a cdot d) - (b cdot c)
Aplicando isso na nossa matriz:
W(t) = (t^2 cdot 3t^2) - (t^3 cdot 2t) = 3t^4 - 2t^4 = t^4

Resposta

O Wronskiano das funções $ y_1(t) = t^2 $ e $ y_2(t) = t^3 $ é $ W(t) = t^4 $.

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