Questão 1 - Soluções fundamentais e wronskiano
Considere a equação diferencial:
Calcule o Wronskiano de
e
, usando o determinante da matriz de Wronskiano.
Considere a equação diferencial:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente calcular o Wronskiano de duas funções que são soluções de uma equação diferencial. O Wronskiano é uma ferramenta que ajuda a verificar se essas soluções são lineares independentes, ou seja, se elas realmente formam uma base de soluções. Para resolver isso, a gente vai precisar saber como calcular derivadas e como montar e calcular determinantes de matrizes.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as funções que a gente tem: $ y_1(t) = t^2 $ e $ y_2(t) = t^3 $. O Wronskiano é calculado usando uma matriz que envolve essas funções e suas derivadas. Então, vamos precisar achar as primeiras derivadas de cada função.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas:
- A derivada de $ y_1(t) = t^2 $ é $ y_1’(t) = 2t $.
- A derivada de $ y_2(t) = t^3 $ é $ y_2’(t) = 3t^2 $.
Passo 4
Agora, vamos montar a matriz do Wronskiano usando essas funções e suas derivadas:
Passo 5
Para encontrar o Wronskiano, a gente calcula o determinante dessa matriz. O determinante de uma matriz 2x2 é dado por:
Aplicando isso na nossa matriz:
Resposta
O Wronskiano das funções $ y_1(t) = t^2 $ e $ y_2(t) = t^3 $ é $ W(t) = t^4 $.