Resolva a equação diferencial pelo método do fator integrante.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial usando o método do fator integrante. A equação que temos é:
Vamos precisar entender como colocar essa equação na forma padrão de uma equação linear e aplicar o fator integrante para encontrar a solução.
Passo 2
Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão de uma equação diferencial linear, que é:
Para isso, vamos dividir toda a equação por
:
Simplificando:
Passo 3
Agora, identificamos
e
na nossa equação:
O próximo passo é encontrar o fator integrante, que é uma função que vai nos ajudar a simplificar a equação. O fator integrante
é dado por:
Passo 4
Vamos calcular o fator integrante:
Então, o fator integrante é
. Agora, multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante:
Simplificando:
Passo 5
A ideia do fator integrante é que o lado esquerdo da equação se torne a derivada de
. Vamos verificar isso:
Então, nossa equação fica:
Agora, vamos integrar ambos os lados em relação a
:
Isso simplifica para:
onde
é a constante de integração.
Passo 6
Agora, vamos isolar
dividindo ambos os lados por
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
é uma constante arbitrária.