Resolva a equação diferencial pelo método do fator integrante.
t^3 y^prime(t)+4 t^2 y(t)=e^-t

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial usando o método do fator integrante. A equação que temos é:
t^3 y^prime(t) + 4 t^2 y(t) = e^-t
Vamos precisar entender como colocar essa equação na forma padrão de uma equação linear e aplicar o fator integrante para encontrar a solução.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão de uma equação diferencial linear, que é:
y' + P(t) y = Q(t)
Para isso, vamos dividir toda a equação por t^3:
y^prime(t) + 4 t^2t^3 y(t) = e^-tt^3
Simplificando:
y' + 4t y = e^-tt^3

Passo 3

Agora, identificamos P(t) e Q(t) na nossa equação:
P(t) = 4t e Q(t) = e^-tt^3
O próximo passo é encontrar o fator integrante, que é uma função que vai nos ajudar a simplificar a equação. O fator integrante mu(t) é dado por:
mu(t) = e^integral P(t) dt

Passo 4

Vamos calcular o fator integrante:
mu(t) = e^integral 4t dt = e^4 ln t = t^4
Então, o fator integrante é t^4. Agora, multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante:
t^4 y' + t^4 cdot 4t y = t^4 cdot e^-tt^3
Simplificando:
t^4 y' + 4 t^3 y = t e^-t

Passo 5

A ideia do fator integrante é que o lado esquerdo da equação se torne a derivada de (mu(t) y). Vamos verificar isso:
ddt (t^4 y) = t^4 y' + 4 t^3 y
Então, nossa equação fica:
ddt (t^4 y) = t e^-t
Agora, vamos integrar ambos os lados em relação a t:
integral ddt (t^4 y) dt = integral t e^-t dt
Isso simplifica para:
t^4 y = -t e^-t - e^-t + C
onde C é a constante de integração.

Passo 6

Agora, vamos isolar y dividindo ambos os lados por t^4:
y = -t e^-t - e^-t + Ct^4 = -(t + 1)e^-tt^4 + Ct^4

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y(t) = -(t + 1)e^-tt^4 + Ct^4
onde C é uma constante arbitrária.

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