Questão 1 - Soluções fundamentais e wronskiano
Considere a equação diferencial:
Verifique que
e
são soluções da equação diferencial.
Considere a equação diferencial:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente tem uma equação diferencial do tipo:
O objetivo aqui é verificar se duas funções, $ y_{1}(t) = t^{2} $ e $ y_{2}(t) = t^{3} $, são soluções dessa equação. Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo, como derivadas, e entender como substituí-las na equação para conferir se ela é satisfeita.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se $ y_{1}(t) = t^{2} $ é uma solução. Para isso, precisamos encontrar a primeira e a segunda derivadas de $ y_{1}(t) $.
A primeira derivada de $ y_{1}(t) $ em relação a $ t $ é:
A segunda derivada é:
Passo 3
Agora, vamos substituir $ y_{1}(t) $, $ y_{1}’(t) $ e $ y_{1}’’(t) $ na equação diferencial original:
Fazendo as contas:
Como a equação resultou em zero, isso confirma que $ y_{1}(t) = t^{2} $ é realmente uma solução da equação diferencial.
Passo 4
Agora, vamos repetir o mesmo processo para $ y_{2}(t) = t^{3} $.
Primeira derivada de $ y_{2}(t) $:
Segunda derivada:
Passo 5
Substituindo $ y_{2}(t) $, $ y_{2}’(t) $ e $ y_{2}’’(t) $ na equação diferencial:
Calculando:
Isso mostra que a equação também se anula, confirmando que $ y_{2}(t) = t^{3} $ é uma solução válida.
Resposta
Assim, verificamos que tanto $ y_{1}(t) = t^{2} $ quanto $ y_{2}(t) = t^{3} $ são soluções da equação diferencial dada.