Questão 1 - Soluções fundamentais e wronskiano
Considere a equação diferencial:
t^2 y^prime prime-4 t y^prime+6 y=0
Verifique que y1(t)=t^2 e y2(t)=t^3 são soluções da equação diferencial.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente tem uma equação diferencial do tipo:
t^2 y'' - 4 t y' + 6 y = 0
O objetivo aqui é verificar se duas funções, $ y_{1}(t) = t^{2} $ e $ y_{2}(t) = t^{3} $, são soluções dessa equação. Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo, como derivadas, e entender como substituí-las na equação para conferir se ela é satisfeita.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se $ y_{1}(t) = t^{2} $ é uma solução. Para isso, precisamos encontrar a primeira e a segunda derivadas de $ y_{1}(t) $.
A primeira derivada de $ y_{1}(t) $ em relação a $ t $ é:
y1(t) = t^2
A segunda derivada é:
y1(t)

Passo 3

Agora, vamos substituir $ y_{1}(t) $, $ y_{1}’(t) $ e $ y_{1}’’(t) $ na equação diferencial original:
y1(t)
Fazendo as contas:
y1'(t)
Como a equação resultou em zero, isso confirma que $ y_{1}(t) = t^{2} $ é realmente uma solução da equação diferencial.

Passo 4

Agora, vamos repetir o mesmo processo para $ y_{2}(t) = t^{3} $.
Primeira derivada de $ y_{2}(t) $:
y2(t) = t^3
Segunda derivada:
y2(t)

Passo 5

Substituindo $ y_{2}(t) $, $ y_{2}’(t) $ e $ y_{2}’’(t) $ na equação diferencial:
y2(t)
Calculando:
y2'(t)
Isso mostra que a equação também se anula, confirmando que $ y_{2}(t) = t^{3} $ é uma solução válida.

Resposta

Assim, verificamos que tanto $ y_{1}(t) = t^{2} $ quanto $ y_{2}(t) = t^{3} $ são soluções da equação diferencial dada.

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