Questão 4: A soma dos perímetros de um triângulo equilátero e de um círculo deve ser igual a 2 m . Qual deverá ser o raio do círculo para que a soma das áreas do triângulo e do círculo seja máxima?

Passo 1

O enunciado diz que temos um triângulo equilátero de lado a e um círculo de raio r cuja soma dos perímetros vale 2 m. Queremos escolher r de modo a maximizar a soma das áreas. Vamos:
  1. Usar a restrição de perímetros para escrever a em função de r.
  2. Escrever a área total S(r).
  3. Encontrar pontos críticos via S'(r)=0.
  4. Verificar máximo global no intervalo viável.

Passo 2

A soma dos perímetros é
3a + 2pi r = 2
Desse modo
a = 2 - 2pi r3

Passo 3

A área do triângulo equilátero é tfracraiz34a^2 e a do círculo é pi r^2, logo
S(r) = raiz34,a^2 + pi r^2 = raiz34l(2-2pi r3r)^2 + pi r^2 = raiz39(1-pi r)^2 + pi r^2

Passo 4

Derivando S(r) e igualando a zero:
S'(r) = raiz39cdot2(1-pi r)(-,pi) + 2pi r = -2piraiz39 + 2pi^2raiz39,r + 2pi r = 0
Isto leva a
rl(2pi^2raiz39+2pir) = 2piraiz39 Longrightarrow r = raiz3piraiz3+9 = 1pi + 3raiz3

Passo 5

O segundo derivado é
S''(r)=2pi^2raiz39+2pi>0,
logo o ponto crítico é mínimo local. O domínio viável é 0<= r<= tfrac22pi=tfrac1pi. Avaliando as extremidades:
  • r=0implies S=tfracraiz39,
  • r=tfrac1piimplies S=pil(tfrac1pir)^2=tfrac1pi
    Como tfrac1pi>tfracraiz39, o máximo ocorre em r=tfrac1pi.

Resposta

r = 1pi m

Exercícios relacionados