Questão 4: A soma dos perímetros de um triângulo equilátero e de um círculo deve ser igual a 2 m . Qual deverá ser o raio do círculo para que a soma das áreas do triângulo e do círculo seja máxima?
Passo 1
O enunciado diz que temos um triângulo equilátero de lado
e um círculo de raio
cuja soma dos perímetros vale
m. Queremos escolher
de modo a maximizar a soma das áreas. Vamos:
- Usar a restrição de perímetros para escrever
em função de . - Escrever a área total
. - Encontrar pontos críticos via
. - Verificar máximo global no intervalo viável.
Passo 2
A soma dos perímetros é
Desse modo
Passo 3
A área do triângulo equilátero é
e a do círculo é
, logo
Passo 4
Derivando
e igualando a zero:
Isto leva a
Passo 5
O segundo derivado é
logo o ponto crítico é mínimo local. O domínio viável é
. Avaliando as extremidades:
-
, -
Como, o máximo ocorre em .