Derive as funções abaixo, indicando a(s) regra(s) de derivação usada(s):
y=x^ln x

Passo 1

O enunciado pede para derivar a função
y = x^ln x
O conteúdo aqui é a diferenciação de uma função em que tanto a base quanto o expoente dependem de x. Para resolver vamos usar diferenciação logarítmica, além da regra da cadeia e da derivada do logaritmo.

Passo 2

Aplicamos logaritmo natural em ambos os lados, usando a propriedade
lnl(x^ln xr)=ln xcdotln x=(ln x)^2
Logo, definimos
ln y = (ln x)^2

Passo 3

Diferenciamos implicitamente em relação a x. À esquerda usamos a derivada de ln y (regra da cadeia) e à direita a derivada de (ln x)^2 (regra da cadeia também):
ddxl(ln yr)=1y,y', ddxl((ln x)^2r)=2,ln xcdotddx(ln x)=2,ln xcdot1x
Portanto
y'y = 2,ln xx

Passo 4

Multiplicamos ambos os lados por y e substituímos y = x^ln x:
y' = y;2,ln xx = x^ln x;2,ln xx = 2,ln x;x^ln x-1

Resposta

y' = 2,x^ln x-1,ln x

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