Para uma matriz C=(c1 z, j) i=1, ldots, m, j=1, ldots, n complexa (isto é, todos os elementos de C são números complexos):
a) definimos sua matriz conjugada, indicada por barC, como a matriz cujos elementos são os respectivos conjugados dos elementos de C, ou seja, barC=(barc1 i j) para todo i e j;
b) definimos sua matriz conjugada transposta ou a transconjugada, indicada por C^*, como a matriz transposta da matriz conjugada de C, ou seja C^*=barC^T.
(A C)^*=C^* A^*

Passo 1

Temos duas matrizes complexas A de dimensão mtimes k e C de dimensão ktimes n. Definimos
– a matriz conjugada barM fazendo conjugado de cada elemento de M,
– a transconjugada ou conjugada-transposta M^*=barM^T.
Precisamos mostrar que
(AC)^* ;=; C^*,A^*

Passo 2

Escrevemos o elemento (i,j) do produto AC. Pela definição de multiplicação de matrizes,
(AC)ij ;=;sumell=1^kAiell,Cell j

Passo 3

Aplicamos agora conjugação a esse elemento:
(AC)ij =sumell=1^kAiell,Cell j =sumell=1^kAiell,Cell j =sumell=1^kAiell;Cell j

Passo 4

Pela definição de conjugada-transposta, o elemento (i,j) de (AC)^* é
(AC)^*ij =(AC)ji =sumell=1^kAjell;Cell i

Passo 5

Agora consideramos o produto C^*A^*. Como C^*=barC^T tem dimensão ntimes k e A^*=barA^T tem ktimes m, seu elemento (i,j) é
(C^*A^*)ij =sumell=1^k(C^*)iell,(A^*)ell j =sumell=1^kCell i;Ajell
Repare que cada termo Cell i;Ajell coincide com Ajell;Cell i do passo anterior.

Resposta

Logo concluímos que
(AC)^*=C^*,A^*

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