Para uma matriz complexa (isto é, todos os elementos de são números complexos):
a) definimos sua matriz conjugada, indicada por , como a matriz cujos elementos são os respectivos conjugados dos elementos de , ou seja, para todo e ;
b) definimos sua matriz conjugada transposta ou a transconjugada, indicada por , como a matriz transposta da matriz conjugada de , ou seja .
Passo 1
Temos duas matrizes complexas de dimensão e de dimensão . Definimos
– a matriz conjugada fazendo conjugado de cada elemento de ,
– a transconjugada ou conjugada-transposta .
Precisamos mostrar que
Passo 2
Escrevemos o elemento do produto . Pela definição de multiplicação de matrizes,
Passo 3
Aplicamos agora conjugação a esse elemento:
Passo 4
Pela definição de conjugada-transposta, o elemento (i,j) de (AC)^* é
(AC)^*ij =(AC)ji =sumell=1^kAjell;Cell i
Passo 5
Agora consideramos o produto C^*A^*. Como C^*=barC^T tem dimensão ntimes k e A^*=barA^T tem ktimes m, seu elemento (i,j) é