Questão 1

No fundo de um rio com uma profundidade de 2 m existe um espelho plano. Um peixe está parado a 50 c m abaixo da superfície da água. Considerando o índice de refração da água 1, 33, determine: (a) A profundidade aparente do peixe quando ele é observado, por um pescador, normalmente de cima para baixo, (b) A profundidade aparente da imagem do peixe no espelho quando ele é observado pelo pescador, normalmente de cima para baixo?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas:
  • Há um espelho plano no fundo do rio a uma profundidade de 2,00\\ \text{m}.
  • O peixe está parado a 50\\ \text{cm} abaixo da superfície da água. Vou converter isso para metros: isso é 0,50\\ \text{m}.
  • O índice de refração da água é n_{\text{água}}=1,33á. O índice do ar é n_{\text{ar}}\approx1,00.
  • Pergunta (a): qual é a profundidade aparente do peixe quando observado pelo pescador de cima para baixo (observação aproximadamente vertical/paraxial)?
  • Pergunta (b): qual é a profundidade aparente da imagem do peixe formada pelo espelho quando observada pelo pescador de cima para baixo?
Tudo o que vou precisar: converter unidades, lembrar a lei da refração e como se forma a imagem em um espelho plano, e aplicar a fórmula da profundidade aparente para um meio transparente.

Passo 2

Conceito e fórmula da profundidade aparente (aula curta e prática).
  • A lei da refração (Lei de Snell) diz:
n_1\sin\theta_1=n_2\sin\theta_2,
onde n_1 é o índice do meio onde o raio entra (aqui o ar), n_2 o índice do meio onde o raio vinha (aqui a água), \theta_1 o ângulo que o raio em ar faz com a normal e \theta_2 o ângulo no interior da água com a normal.
  • Para encontrar a profundidade aparente usamos um raciocínio geométrico para raios próximos à normal (paraxiais): suponha um raio que sai do peixe a uma pequena distância lateral x do ponto onde atravessa a superfície. Geometricamente,
\tan\theta_2=\dfrac{x}{d},\qquad \tan\theta_1=\dfrac{x}{d_{\text{ap}}}
onde d é a profundidade real do objeto e d_{\text{ap}} é a profundidade aparente (a distância à qual o observador pensa que o ponto está, ao prolongar o raio refratado como se viesse de dentro da água).
  • Para pequenos ângulos (paraxial) podemos aproximar \sin\theta\approx\tan\theta. Substituindo a aproximação na Lei de Snell:
n_{\text{ar}}\tan\theta_1\approx n_{\text{água}}\tan\theta_2.á
Usando as expressões de \tan em termos de x,d,d_{\text{ap}} obtemos
n_{\text{ar}}\frac{x}{d_{\text{ap}}}=n_{\text{água}}\frac{x}{d}.á
Cancelando x (não nulo) chega-se à fórmula padrão da profundidade aparente:
d_{\text{ap}}=d\cdot\frac{n_{\text{ar}}}{n_{\text{água}}}.á
  • Aqui n_{\text{ar}}=1,00 e n_{\text{água}}=1,33á. Essa fórmula é a que se usa para o observador acima da superfície, em condição de pequenos ângulos (isto é, observação razoavelmente central/vertical).

Passo 3

Aplicação da fórmula ao caso (a) — profundidade aparente do peixe.
  • Dados: d=0,50\\ \text{m}, n_{\text{ar}}=1,00, n_{\text{água}}=1,33á.
  • Usando
d_{\text{ap}}=d\cdot\frac{n_{\text{ar}}}{n_{\text{água}}},á
temos
d_{\text{ap}}=0,50\cdot\frac{1,00}{1,33}.
  • Fazendo a divisão 0,50/1,33:
d_{\text{ap}}\approx0,37594\\ \text{m}.
  • Arredondando com razoável precisão experimental (duas casas decimais em metros, ou uma casa em centímetros):
d_{\text{ap}}\approx0,376\\ \text{m}=37,6\\ \text{cm}.

Passo 4

Formação da imagem no espelho (explicação passo a passo).
  • A distância vertical do peixe até o espelho é a diferença entre a profundidade do espelho e a do peixe:
\Delta =2,00-0,50=1,50\\ \text{m}.
  • Para um espelho plano, a imagem virtual do objeto fica à mesma distância “atrás” do espelho que o objeto está “na frente” do espelho. Assim, a imagem do peixe fica 1,50\\ \text{m} do outro lado do espelho (ou seja, abaixo do espelho).
  • Portanto, a profundidade real (no interior da água) da imagem formada pelo espelho, medida a partir da superfície, é
d_{\text{imagem, real}}= \text{profundidade do espelho} + \Delta = 2,00+1,50 = 3,50\\ \text{m}.

Passo 5

Aplicação da fórmula da profundidade aparente à imagem do espelho (caso (b)).
  • Agora a imagem virtual do peixe está a d=3,50\\ \text{m} dentro da água. Aplicando a mesma fórmula de profundidade aparente:
d_{\text{ap, imagem}}=d\cdot\frac{n_{\text{ar}}}{n_{\text{água}}}=3,50\cdot\frac{1,00}{1,33}.á
  • Calculando:
d_{\text{ap, imagem}}\approx\frac{3,50}{1,33}\approx2,63383\\ \text{m}.
  • Arredondando:
d_{\text{ap, imagem}}\approx2,63\\ \text{m}=263\\ \text{cm}.

Passo 6

Observações finais e suposições
  • Usei a aproximação para raios paraxiais ( \sin\theta\approx\tan\theta), que é o procedimento padrão ao falar em “profundidade aparente” para um observador acima da superfície; isto corresponde a observar não muito obliquamente (ou o observador razoavelmente alinhado com o normal).
  • Se o observador olhasse exatamente ao longo da normal (ângulo zero), não haveria desvio do raio e a profundidade aparente seria igual à real. Mas a expressão que se usa habitualmente e que o enunciado espera é a derivada acima, válida para observação típica de superfície (olho a alguma distância, coleta de raios não exatamente colineares), e é o que calculei.

Resposta

(a) 0,376\\ \text{m} \;=\;37,6\\ \text{cm}
(b) 2,63\\ \text{m} \;=\;263\\ \text{cm}

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