Questão 1
No fundo de um rio com uma profundidade de
existe um espelho plano. Um peixe está parado a
abaixo da superfície da água. Considerando o índice de refração da água 1, 33, determine: (a) A profundidade aparente do peixe quando ele é observado, por um pescador, normalmente de cima para baixo, (b) A profundidade aparente da imagem do peixe no espelho quando ele é observado pelo pescador, normalmente de cima para baixo?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas:
- Há um espelho plano no fundo do rio a uma profundidade de
. - O peixe está parado a
abaixo da superfície da água. Vou converter isso para metros: isso é . - O índice de refração da água é
. O índice do ar é . - Pergunta (a): qual é a profundidade aparente do peixe quando observado pelo pescador de cima para baixo (observação aproximadamente vertical/paraxial)?
- Pergunta (b): qual é a profundidade aparente da imagem do peixe formada pelo espelho quando observada pelo pescador de cima para baixo?
Tudo o que vou precisar: converter unidades, lembrar a lei da refração e como se forma a imagem em um espelho plano, e aplicar a fórmula da profundidade aparente para um meio transparente.
Passo 2
Conceito e fórmula da profundidade aparente (aula curta e prática).
- A lei da refração (Lei de Snell) diz:
onde
é o índice do meio onde o raio entra (aqui o ar),
o índice do meio onde o raio vinha (aqui a água),
o ângulo que o raio em ar faz com a normal e
o ângulo no interior da água com a normal.
- Para encontrar a profundidade aparente usamos um raciocínio geométrico para raios próximos à normal (paraxiais): suponha um raio que sai do peixe a uma pequena distância lateral
do ponto onde atravessa a superfície. Geometricamente,
onde
é a profundidade real do objeto e
é a profundidade aparente (a distância à qual o observador pensa que o ponto está, ao prolongar o raio refratado como se viesse de dentro da água).
- Para pequenos ângulos (paraxial) podemos aproximar
. Substituindo a aproximação na Lei de Snell:
Usando as expressões de
em termos de
obtemos
Cancelando
(não nulo) chega-se à fórmula padrão da profundidade aparente:
- Aqui
e . Essa fórmula é a que se usa para o observador acima da superfície, em condição de pequenos ângulos (isto é, observação razoavelmente central/vertical).
Passo 3
Aplicação da fórmula ao caso (a) — profundidade aparente do peixe.
- Dados:
, , . - Usando
temos
- Fazendo a divisão
:
- Arredondando com razoável precisão experimental (duas casas decimais em metros, ou uma casa em centímetros):
Passo 4
Formação da imagem no espelho (explicação passo a passo).
- A distância vertical do peixe até o espelho é a diferença entre a profundidade do espelho e a do peixe:
- Para um espelho plano, a imagem virtual do objeto fica à mesma distância “atrás” do espelho que o objeto está “na frente” do espelho. Assim, a imagem do peixe fica
do outro lado do espelho (ou seja, abaixo do espelho). - Portanto, a profundidade real (no interior da água) da imagem formada pelo espelho, medida a partir da superfície, é
Passo 5
Aplicação da fórmula da profundidade aparente à imagem do espelho (caso (b)).
- Agora a imagem virtual do peixe está a
dentro da água. Aplicando a mesma fórmula de profundidade aparente:
- Calculando:
- Arredondando:
Passo 6
Observações finais e suposições
- Usei a aproximação para raios paraxiais (
), que é o procedimento padrão ao falar em “profundidade aparente” para um observador acima da superfície; isto corresponde a observar não muito obliquamente (ou o observador razoavelmente alinhado com o normal). - Se o observador olhasse exatamente ao longo da normal (ângulo zero), não haveria desvio do raio e a profundidade aparente seria igual à real. Mas a expressão que se usa habitualmente e que o enunciado espera é a derivada acima, válida para observação típica de superfície (olho a alguma distância, coleta de raios não exatamente colineares), e é o que calculei.
Resposta
(a)
(b)