Questão 2. Uma transformação bilinear é uma função do tipo
em que
são espaços vetoriais, e que satisfaz
para todos
e
. Denota-se por
o conjunto das transformações bilineares de
em
.
(a) Prove que
é um subespaço vetorial de
(o espaço vetorial das funções de
em
, com as operações pontuais).
(b) Prove que a função
(em que
,
e
) é um isomorfismo linear. Determine sua inversa explicitamente.
(c) Supondo que
têm dimensão finita, calcule a dimensão de
.
(d) Encontre um isomorfismo entre
e
.
(a) Prove que
(b) Prove que a função
(c) Supondo que
(d) Encontre um isomorfismo entre
Passo 1
O enunciado trata de transformações bilineares
que satisfazem linearidade em cada argumento separadamente. Precisamos mostrar que o conjunto
é subespaço de , construir o isomorfismo
e sua inversa, calcular em dimensões finitas e relacionar
com
. Vamos usar definições de subespaço, de espaço de transformações lineares e contagem de graus de liberdade via bases.
é subespaço de
e sua inversa, calcular
Passo 2
Provar que
é subespaço de
.
- O espaço
é formado por todas as funções com soma e multiplicação por escalar definidas ponto a ponto: - Verificamos que a função zero
é bilinear claramente. - Se
e são bilineares e , então para todo e : e analogamente na segunda coordenada. Para a verificação é análoga.
Logoé fechado sob soma e multiplicação escalar, e contém o zero, sendo subespaço.
Passo 3
Mostrar que
é isomorfismo linear e encontrar
.
- Linearidade de
: se e , então
e
. - Construímos
por É fácil ver que é linear em pela bilinearidade de , e é linear em . - Composição: para
temos , logo . Similarmente .
Portantoé bijetora e linear, logo isomorfismo, e a inversa é .
Passo 4
Calcular
quando
,
,
.
- Escolha bases
, , . - Qualquer
é determinado pelos vetores onde . - O número de coeficientes livres
é .
Logo
Passo 5
Exibir isomorfismo entre
e
.
Defina
Defina
-
é bilinear porque é bilinear e trocamos argumentos. -
é linear, pois soma e escalar saem de dentro do valor de . - A inversa de
é ela mesma, pois aplicar troca duas vezes reaplica ordem original.
Logoé isomorfismo linear.
Resposta
(a)
é subespaço de
pois contém o zero e é fechado em soma e escalares.
(b) é linear, bijetora, e
(b)
(c)
(d) O isomorfismo é
, cuja inversa é ele próprio.
(d) O isomorfismo é