Questão 2. Uma transformação bilinear é uma função do tipo
f: E \times F \rightarrow G,
em que E, F, G são espaços vetoriais, e que satisfaz
f(x+\lambda y, z)=f(x, z)+\lambda f(y, z) \quad \text { e } \quad f(x, w+\lambda z)=f(x, w)+\lambda f(x, z)
para todos x, y \in E e z, w \in F. Denota-se por \operatorname{Bil}(E, F ; G) o conjunto das transformações bilineares de E \times F em G.
(a) Prove que \operatorname{Bil}(E, F ; G) é um subespaço vetorial de G^{E \times F} (o espaço vetorial das funções de E \times F em G, com as operações pontuais).
(b) Prove que a função
\Phi: \mathrm{L}(E, \mathrm{~L}(F, G)) \rightarrow \operatorname{Bil}(E, F ; G) \quad \text { dada por } \quad \Phi(T)(e, f)=(T(e))(f)
(em que T \in \mathrm{~L}(E, \mathrm{~L}(F, G)), e \in E e f \in F ) é um isomorfismo linear. Determine sua inversa explicitamente.
(c) Supondo que E, F, G têm dimensão finita, calcule a dimensão de \operatorname{Bil}(E, F ; G).
(d) Encontre um isomorfismo entre \operatorname{Bil}(E, F ; G) e \operatorname{Bil}(F, E ; G).

Passo 1

O enunciado trata de transformações bilineares
f:E\times F\to G
que satisfazem linearidade em cada argumento separadamente. Precisamos mostrar que o conjunto
\operatorname{Bil}(E,F;G)
é subespaço de G^{E\times F}, construir o isomorfismo
\Phi:\mathrm L(E,\mathrm L(F,G))\to\operatorname{Bil}(E,F;G)
e sua inversa, calcular \dim\operatorname{Bil}(E,F;G) em dimensões finitas e relacionar
\operatorname{Bil}(E,F;G) com \operatorname{Bil}(F,E;G). Vamos usar definições de subespaço, de espaço de transformações lineares e contagem de graus de liberdade via bases.

Passo 2

Provar que \operatorname{Bil}(E,F;G) é subespaço de G^{E\times F}.
  1. O espaço G^{E\times F} é formado por todas as funções E\times F\to G com soma e multiplicação por escalar definidas ponto a ponto: (f+g)(e,f')=f(e,f')+g(e,f'),\quad (\lambda f)(e,f')=\lambda\,f(e,f').
  2. Verificamos que a função zero 0(e,f')=0_G é bilinear claramente.
  3. Se f e g são bilineares e \lambda\in\Bbb K, então para todo x,y\in E e z,w\in F: (f+g)(x+\lambda y,z) =f(x+\lambda y,z)+g(x+\lambda y,z) =\bigl[f(x,z)+\lambda f(y,z)\bigr]+\bigl[g(x,z)+\lambda g(y,z)\bigr] =(f+g)(x,z)+\lambda(f+g)(y,z),e analogamente na segunda coordenada. Para \lambda f a verificação é análoga.
    Logo \operatorname{Bil}(E,F;G) é fechado sob soma e multiplicação escalar, e contém o zero, sendo subespaço.

Passo 3

Mostrar que
\Phi:\mathrm L\bigl(E,\mathrm L(F,G)\bigr)\longrightarrow\operatorname{Bil}(E,F;G), \quad \Phi(T)(e,f)=(T(e))(f)
é isomorfismo linear e encontrar \Phi^{-1}.
  1. Linearidade de \Phi: se T_1,T_2\in\mathrm L(E,\mathrm L(F,G)) e \lambda\in\Bbb K, então
    \Phi(T_1+T_2)(e,f)=(T_1+T_2)(e)(f)=T_1(e)(f)+T_2(e)(f) e
    \Phi(\lambda T_1)(e,f)=(\lambda T_1)(e)(f)=\lambda\,T_1(e)(f).
  2. Construímos \Psi:\operatorname{Bil}(E,F;G)\to\mathrm L\bigl(E,\mathrm L(F,G)\bigr) por \Psi(B):E\to\mathrm L(F,G),\quad \bigl[\Psi(B)(e)\bigr](f)=B(e,f).É fácil ver que \Psi(B)(e) é linear em f pela bilinearidade de B, e \Psi é linear em B.
  3. Composição: para T temos (\Psi\circ\Phi)(T)(e)(f)=\Psi(\Phi(T))(e)(f)=\Phi(T)(e,f)=(T(e))(f), logo \Psi\circ\Phi=\mathrm{Id}. Similarmente \Phi\circ\Psi=\mathrm{Id}.
    Portanto \Phi é bijetora e linear, logo isomorfismo, e a inversa é \Phi^{-1}=\Psi.

Passo 4

Calcular \dim\operatorname{Bil}(E,F;G) quando \dim E=m, \dim F=n, \dim G=p.
  1. Escolha bases \{e_i\}_{i=1}^m, \{f_j\}_{j=1}^n, \{g_k\}_{k=1}^p.
  2. Qualquer B\in\operatorname{Bil}(E,F;G) é determinado pelos vetores B(e_i,f_j)\;=\;\sum_{k=1}^p a_{ij}^k\,g_k,onde a_{ij}^k\in\Bbb K.
  3. O número de coeficientes livres a_{ij}^k é m\cdot n\cdot p.
    Logo
\dim\operatorname{Bil}(E,F;G)=m\,n\,p =\bigl(\dim E\bigr)\bigl(\dim F\bigr)\bigl(\dim G\bigr).

Passo 5

Exibir isomorfismo entre \operatorname{Bil}(E,F;G) e \operatorname{Bil}(F,E;G).
Defina
\Theta:\operatorname{Bil}(E,F;G)\longrightarrow\operatorname{Bil}(F,E;G), \quad \bigl[\Theta(B)\bigr](f,e)=B(e,f).
  1. \Theta(B) é bilinear porque B é bilinear e trocamos argumentos.
  2. \Theta é linear, pois soma e escalar saem de dentro do valor de B.
  3. A inversa de \Theta é ela mesma, pois aplicar troca duas vezes reaplica ordem original.
    Logo \Theta é isomorfismo linear.

Resposta

(a) \operatorname{Bil}(E,F;G) é subespaço de G^{E\times F} pois contém o zero e é fechado em soma e escalares.
(b) \Phi é linear, bijetora, e
\Phi^{-1}:\operatorname{Bil}(E,F;G)\to\mathrm L\bigl(E,\mathrm L(F,G)\bigr), \quad \Phi^{-1}(B)(e)(f)=B(e,f).
(c) \displaystyle \dim\operatorname{Bil}(E,F;G)=(\dim E)\,(\dim F)\,(\dim G).
(d) O isomorfismo é
\Theta(B)(f,e)=B(e,f), cuja inversa é ele próprio.

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