Questão 6 Suponha que f(x)=e^-x para x<0. Determine as seguintes probabilidades:
P(X<4)

Passo 1

Então, o enunciado diz que temos uma variável aleatória contínua f(x)=e^-x com densidade
para (e zero para ). A questão é do conteúdo de variáveis aleatórias contínuas, mais especificamente da distribuição exponencial de parâmetro . Para resolver, vamos precisar lembrar que a probabilidade se obtém integrando a densidade de 0 até 4, ou seja, construindo a função distribuição acumulada (CDF).

Passo 2

Primeiro, lembra do conceito de função densidade de probabilidade (PDF) e função distribuição acumulada (CDF).
  • A PDF F(x)=integral0^xe^-t,dt, x>=0 diz “de quanto em quanto a curva de probabilidade acumula”.
  • A CDF é .
    No nosso caso, como para , a integral vira

Passo 3

Agora, vamos calcular essa integral:
F(x)=integral0^xe^-t,dt
Sabemos que F(x) = l[-e^-tr]t=0^t=x = l(-e^-xr)-l(-e^0r) =1 - e^-x . Então,

Passo 4

O que a gente quer é P(X<4)=F(4)=1 - e^-4 . Para variáveis contínuas não faz diferença usar ou , então:

Resposta

boxedP(X<4)=1 - e^-4

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