Questão 3 Determine a esperança e a variância da v.a X, cuja f.d.p é:
f(x)= sen x & se 0 <= x <= pi / 2 0 & cc;

Passo 1

Beleza, aqui o enunciado diz: “X é uma v.a. contínua com f.d.p.
f(x)= sin x,&0<= x<=pi/2, 0,&caso contrário á
A gente precisa encontrar a esperança e a variância .
Conteúdo envolvido: distribuições contínuas, definição de esperança (integral de ), definição de variância (integral de menos quadrado da esperança) e técnica de integração por partes.

Passo 2

Primeiro, confere se é f.d.p.:
integral-infty^inftyf(x),dx =integral0^pi/2sin x,dx =[-cos x]0^pi/2 =(-cos(pi/2)) -(-cos0)=0-(-1)=1
Então tá tudo certo: integra 1.

Passo 3

Calcular u=x, dv=sin x,dx ;Longrightarrow; du=dx, v=-cos x .
Usamos integração por partes:
defina
integral xsin x,dx =-xcos x+integralcos x,dx =-xcos x+sin x
Logo
E[X]=l[-xcos x+sin xr]0^pi/2 =l[-(tfracpi2)cos(tfracpi2)+sin(tfracpi2)r] -l[0cdotcos0+sin0r] =0+1-0=1
Avaliando de 0 a :

Passo 4

Agora u=x^2, dv=sin x,dx ;Longrightarrow; du=2x,dx, v=-cos x .
Outra vez partes:
integral x^2sin x,dx =-x^2cos x+integral2xcos x,dx
Então
u=x,;dv=cos x,dx ;Longrightarrow; du=dx,;v=sin x ;Longrightarrow; integral xcos x,dx=xsin x-integralsin x,dx =xsin x+cos x
No termo integral x^2sin x,dx =-x^2cos x + 2l(xsin x+cos xr) , aplicamos partes de novo:
E[X^2]=pi-2
Então
Avaliando de 0 a :
em :
em :
Logo

Passo 5

Lembra que Var(X)=(pi-2)-1^2=pi-3 .
Substituindo:

Resposta


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