Questão 5: Determine o ponto ( x, y ) no disco elíptico x^{2}+4 y^{2} \leq 1 que maximiza a soma 2 x+y. (Sugestão: para analisar a fronteira do disco, você pode considerar a parametrização trigonométrica: x=\operatorname{sen} t, y=2 \cos t, onde 0 \leq t \leq 2 \pi.)

Passo 1

O enunciado pede para maximizar a função linear
f(x,y)=2x+y
sobre o disco elíptico definido por
x^{2}+4y^{2}\le1.
O máximo de uma função linear sobre uma região convexa acorre na fronteira, que é a curva
x^{2}+4y^{2}=1.
Vamos usar multiplicadores de Lagrange para tratar essa restrição.

Passo 2

Definimos
g(x,y)=x^{2}+4y^{2}-1=0
e montamos as equações de Lagrange
\nabla f(x,y)=\lambda\,\nabla g(x,y).
Como \nabla f=(2,1) e \nabla g=(2x,8y), obtemos o sistema
2=\lambda\cdot2x,
1=\lambda\cdot8y,
x^{2}+4y^{2}=1.

Passo 3

Das duas primeiras equações tiramos
\lambda=\frac{2}{2x}=\frac{1}{x}, \quad \lambda=\frac{1}{8y}.
Logo
\frac{1}{x}=\frac{1}{8y} \quad\Longrightarrow\quad 8y=x \quad\Longrightarrow\quad y=\frac{x}{8}.

Passo 4

Substituindo y=x/8 em x^{2}+4y^{2}=1
x^{2}+4\Bigl(\frac{x}{8}\Bigr)^{2} =x^{2}+\frac{4x^{2}}{64} =x^{2}+\frac{x^{2}}{16} =\frac{17x^{2}}{16}=1
\Longrightarrow x^{2}=\frac{16}{17} \quad\Longrightarrow\quad x=\pm\frac{4}{\sqrt{17}}, \quad y=\pm\frac{1}{2\sqrt{17}}.

Passo 5

A função avaliada nesses pontos é
f(x,y)=2x+y=\frac{17}{8}\,x.
Para x=4/\sqrt{17} temos f=(17/8)\,(4/\sqrt{17})>0, que é maior que o valor obtido com o sinal negativo de x. Portanto o máximo ocorre em
\Bigl(x,y\Bigr) =\Bigl(\tfrac{4}{\sqrt{17}},\,\tfrac{1}{2\sqrt{17}}\Bigr).

Resposta

\displaystyle \bigl(x,y\bigr)=\bigl(\tfrac{4}{\sqrt{17}},\,\tfrac{1}{2\sqrt{17}}\bigr).

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