Questão 5: Determine o ponto (
) no disco elíptico
que maximiza a soma
. (Sugestão: para analisar a fronteira do disco, você pode considerar a parametrização trigonométrica:
, onde
.)
Passo 1
O enunciado pede para maximizar a função linear
sobre o disco elíptico definido por
O máximo de uma função linear sobre uma região convexa acorre na fronteira, que é a curva
Vamos usar multiplicadores de Lagrange para tratar essa restrição.
Passo 2
Definimos
e montamos as equações de Lagrange
Como
e
, obtemos o sistema
Passo 3
Das duas primeiras equações tiramos
Logo
Passo 4
Substituindo
em
dá
Passo 5
A função avaliada nesses pontos é
Para
temos
, que é maior que o valor obtido com o sinal negativo de
. Portanto o máximo ocorre em