Questão 2: Calcule a derivada direcional da função f(x, y)=\sqrt{1+x^{2}+y^{2}} no ponto (2,2) e na direção do vetor \vec{w}=(-1,2).

Passo 1

O enunciado pede a derivada direcional da função
f(x,y)=\sqrt{1+x^2+y^2}
no ponto (2,2) na direção do vetor \vec w=(-1,2). Para isso, vamos precisar do gradiente de f e do vetor unitário que aponta para \vec w, pois a derivada direcional é dada pelo produto escalar entre esses dois vetores.

Passo 2

Vamos calcular as derivadas parciais de f usando a regra da cadeia. Em termos gerais,
\frac{\partial f}{\partial x} =\frac{1}{2}(1+x^2+y^2)^{-1/2}\cdot 2x =\frac{x}{\sqrt{1+x^2+y^2}},
\frac{\partial f}{\partial y} =\frac{1}{2}(1+x^2+y^2)^{-1/2}\cdot 2y =\frac{y}{\sqrt{1+x^2+y^2}}.
Logo, o gradiente é
\nabla f(x,y) =\Bigl(\frac{x}{\sqrt{1+x^2+y^2}},\,\frac{y}{\sqrt{1+x^2+y^2}}\Bigr).

Passo 3

Agora avaliamos o gradiente em (2,2). Primeiro
\sqrt{1+2^2+2^2}=\sqrt{1+4+4}=\sqrt{9}=3.
Portanto,
\nabla f(2,2) =\Bigl(\frac{2}{3},\,\frac{2}{3}\Bigr).

Passo 4

Precisamos do vetor unitário \vec u na direção de \vec w=(-1,2). O módulo de \vec w é
\|\vec w\|=\sqrt{(-1)^2+2^2}=\sqrt{1+4}=\sqrt{5},
então
\vec u =\frac{\vec w}{\|\vec w\|} =\Bigl(-\frac{1}{\sqrt{5}},\,\frac{2}{\sqrt{5}}\Bigr).

Passo 5

A derivada direcional de f em (2,2) na direção de \vec w é
D_{\vec u}f(2,2) =\nabla f(2,2)\cdot\vec u =\Bigl(\frac{2}{3},\frac{2}{3}\Bigr)\cdot\Bigl(-\frac{1}{\sqrt{5}},\frac{2}{\sqrt{5}}\Bigr).
Fazendo o produto escalar,
D_{\vec u}f(2,2) =\frac{2}{3}\Bigl(-\frac{1}{\sqrt{5}}\Bigr) +\frac{2}{3}\Bigl(\frac{2}{\sqrt{5}}\Bigr) =\frac{2}{3\sqrt{5}}\bigl(-1+2\bigr) =\frac{2}{3\sqrt{5}}.

Resposta

\frac{2}{3\sqrt{5}}

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