Questão 1. (2,5) Considere um fio de cobre com resistência igual a R=3 \Omega\). Suponha que a corrente elétrica \(X\) (em ampères) que atravessa esse fio durante uma operação de curta duração tenha f.d.p dada por \[f(x)= \begin{cases}x, & 0<x<1 \\\\ 2-x, & 1 \leq x<2 \\\\ 0, & \text { caso contrário }\end{cases}
(a) (2,0) Determine a média e a variância de X\]; (b) \((0,5) Seja Y=X \cdot R a diferença de potencial (DDP) no fio. Determine a média e a variância de Y.

Passo 1

O enunciado define a variável aleatória X\) com f.d.p. triangular em \([0,2]\): \[f(x)= \begin{cases} x, & 0<x<1,\\\\ 2-x, & 1\le x<2,\\\\ 0, & \text{caso contrário}. \end{cases}
Pede-se (a) a média \mathbb{E}[X]\] e a variância \(\mathrm{Var}(X), e (b) para Y=R\,X com R=3\:\Omega, encontrar \mathbb{E}[Y] e \mathrm{Var}(Y). Vamos usar integração para momentos e fórmula de transformação linear.

Passo 2

Calcular a média
\mathbb{E}[X] =\int_{0}^{1}x\cdot x\,dx+\int_{1}^{2}x\,(2-x)\,dx.
Na primeira integral
\int_{0}^{1}x^{2}\,dx=\Bigl[\tfrac{x^{3}}{3}\Bigr]_{0}^{1}=\tfrac{1}{3}.
Na segunda
\int_{1}^{2}(2x - x^{2})\,dx =\Bigl[x^{2}-\tfrac{x^{3}}{3}\Bigr]_{1}^{2} =(4-\tfrac{8}{3})-(1-\tfrac{1}{3}) =\tfrac{2}{3}.
Somando,
\mathbb{E}[X]=\tfrac{1}{3}+\tfrac{2}{3}=1.

Passo 3

Calcular E[X^{2}] e a variância
\mathbb{E}[X^{2}] =\int_{0}^{1}x^{3}\,dx+\int_{1}^{2}x^{2}(2-x)\,dx.
Primeira parte
\int_{0}^{1}x^{3}\,dx=\tfrac{1}{4}.
Segunda
\int_{1}^{2}(2x^{2}-x^{3})\,dx =\Bigl[\tfrac{2x^{3}}{3}-\tfrac{x^{4}}{4}\Bigr]_{1}^{2} =\bigl(\tfrac{16}{3}-4\bigr)-\bigl(\tfrac{2}{3}-\tfrac{1}{4}\bigr) =\tfrac{11}{12}.
Logo
\mathbb{E}[X^{2}]=\tfrac{1}{4}+\tfrac{11}{12}=\tfrac{7}{6}, \quad \mathrm{Var}(X) =\mathbb{E}[X^{2}]-(\mathbb{E}[X])^{2} =\tfrac{7}{6}-1 =\tfrac{1}{6}.

Passo 4

Para Y=R\,X com constante R=3, usa-se
\mathbb{E}[Y]=R\,\mathbb{E}[X], \quad \mathrm{Var}(Y)=R^{2}\,\mathrm{Var}(X).
Assim
\mathbb{E}[Y]=3\cdot1=3, \quad \mathrm{Var}(Y)=3^{2}\cdot\tfrac{1}{6}=\tfrac{9}{6}=\tfrac{3}{2}.

Resposta

(a) \mathbb{E}[X]=1, \mathrm{Var}(X)=\tfrac{1}{6}.
(b) \mathbb{E}[Y]=3, \mathrm{Var}(Y)=\tfrac{3}{2}.

Exercícios relacionados