Questão 7. Suponha que o movimento de uma partícula no eixo
seja regido pela equação
a) Determine a relação entre
e
, se
.
b) Mostre que a relação
e
, com
, é dada por uma curva fechada.
c) Conclua que toda solução
é uma função periódica.
b) Mostre que a relação
c) Conclua que toda solução
Passo 1
O enunciado dá a equação de movimento
e pede: (a) achar a relação entre
e
(supondo
), (b) mostrar que, para
, essa relação é uma curva fechada, e (c) concluir que toda solução com
é periódica.
Conteúdo: redução a sistema de primeira ordem, método de variáveis separáveis para obter integral de primeira ordem e análise de nível de energia em plano de fases.
Conteúdo: redução a sistema de primeira ordem, método de variáveis separáveis para obter integral de primeira ordem e análise de nível de energia em plano de fases.
Passo 2
Definimos
logo
. Substituindo em
obtém-se
ou seja
Passo 3
Para relacionar
e
fazemos
Essa é uma equação separável em
e
, válida desde que
e
.
Passo 4
Separamos e integramos:
No lado esquerdo escrevemos
então
Rearranjando, a relação implícita é
válida para
.
Passo 5
Defina a “energia” de fase
Note que
- Conforme
, tem-se . - Conforme
ou , também . - O ponto crítico de
satisfaz
e ,
daí, , e
Logo
atinge mínimo
em
e cresce para
nas fronteiras do domínio
. Assim, para cada constante
, o nível
é um conjunto compacto e sem borda: uma curva fechada em
-plano.
Passo 6
Como cada solução do sistema
fica confinada a uma única curva de nível
e essas curvas são fechadas para
(i.e.\
), o movimento é recorrente e periódica ao longo de
.
Resposta
a) A relação implícita é
b) Para
, os níveis
são curvas fechadas.
c) Logo, toda solução com é periódica.
c) Logo, toda solução com