Questão 7. Suponha que o movimento de uma partícula no eixo y seja regido pela equação
y^{\prime \prime}+y y^{\prime}+y=0 .
a) Determine a relação entre v e y, se v \neq-1.
b) Mostre que a relação v e y, com v>-1, é dada por uma curva fechada.
c) Conclua que toda solução y=y(x) \operatorname{com} v>-1 é uma função periódica.

Passo 1

O enunciado dá a equação de movimento
y''+y\,y'+y=0
e pede: (a) achar a relação entre v e y (supondo v\neq-1), (b) mostrar que, para v>-1, essa relação é uma curva fechada, e (c) concluir que toda solução com v>-1 é periódica.
Conteúdo: redução a sistema de primeira ordem, método de variáveis separáveis para obter integral de primeira ordem e análise de nível de energia em plano de fases.

Passo 2

Definimos
v=\frac{dy}{dx},
logo y''=dv/dx. Substituindo em
y''+y\,y'+y=0
obtém-se
\frac{dv}{dx}+y\,v+y=0,
ou seja
\frac{dv}{dx}=-y\,(v+1).

Passo 3

Para relacionar v e y fazemos
\frac{dv}{dy}=\frac{\tfrac{dv}{dx}}{\tfrac{dy}{dx}} =\frac{-y\,(v+1)}{v} =-y\,\frac{v+1}{v}.
Essa é uma equação separável em v e y, válida desde que v\neq0 e v\neq-1.

Passo 4

Separamos e integramos:
\frac{v}{v+1}\,dv=-y\,dy.
No lado esquerdo escrevemos
\frac{v}{v+1}=1-\frac{1}{v+1},
então
\int\Bigl(1-\frac{1}{v+1}\Bigr)dv =\int -y\,dy \;\Longrightarrow\; v-\ln(v+1)=-\frac{y^2}{2}+C.
Rearranjando, a relação implícita é
v+\frac{y^2}{2}-\ln(v+1)=C,
válida para v\neq-1.

Passo 5

Defina a “energia” de fase
F(v,y)=v+\frac{y^2}{2}-\ln(v+1), \qquad v>-1.
Note que
  1. Conforme y\to\pm\infty, tem-se F\to+\infty.
  2. Conforme v\to+\infty ou v\to -1^+, também F\to+\infty.
  3. O ponto crítico de F satisfaz
    \partial F/\partial v=1-\tfrac1{v+1}=0 e \partial F/\partial y=y=0,
    daí v=0, y=0, e
F(0,0)=0.
Logo F atinge mínimo 0 em (0,0) e cresce para +\infty nas fronteiras do domínio v>-1. Assim, para cada constante C>0, o nível
F(v,y)=C
é um conjunto compacto e sem borda: uma curva fechada em (v,y)-plano.

Passo 6

Como cada solução do sistema
\begin{cases} y' = v,\\\ v' = -y(v+1) \end{cases}
fica confinada a uma única curva de nível F(v,y)=C e essas curvas são fechadas para C>0 (i.e.\ v>-1), o movimento é recorrente e periódica ao longo de x.

Resposta

a) A relação implícita é
v+\frac{y^2}{2}-\ln(v+1)=C,\quad v\neq-1.
b) Para v>-1, os níveis F(v,y)=C são curvas fechadas.
c) Logo, toda solução com v>-1 é periódica.

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