Sendo v=\frac{d y}{d x} determine a relação entre v e y.
y^{\prime \prime}+\alpha y y^{\prime}+y=0

Passo 1

O enunciado dá a equação
y''+\alpha\,y\,y'+y=0
e define v=\frac{dy}{dx}. Queremos eliminar x e obter uma relação entre v e y.

Passo 2

Usamos a regra da cadeia para escrever
y''=\frac{d}{dx}\bigl(y'\bigr)=\frac{dv}{dx} =\frac{dv}{dy}\,\frac{dy}{dx} =v\,\frac{dv}{dy}.

Passo 3

Substituindo y''=v\,\frac{dv}{dy} e y'=v na equação original, vem
v\,\frac{dv}{dy}+\alpha\,y\,v+y=0.

Passo 4

Podemos também isolar \frac{dv}{dy}, ficando
\frac{dv}{dy}+\alpha\,y+\frac{y}{v}=0,
ou equivalentemente
\frac{dv}{dy}=-\alpha\,y-\frac{y}{v}.

Resposta

v\,\frac{dv}{dy}+\alpha\,y\,v+y=0, \nequivalente a
\frac{dv}{dy}=-\alpha\,y-\frac{y}{v}.

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