Sendo v=\frac{d y}{d x} determine a relação entre v e y.
y^{\prime \prime}+4 y=0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
y'' + 4y = 0
e define
v = \frac{dy}{dx}.
Queremos eliminar x e obter uma relação entre v e y.

Passo 2

Usamos a regra da cadeia para expressar y'' em função de v e y. Como
y'' = \frac{dv}{dx},
e tomando v=v(y), temos
\frac{dv}{dx} = \frac{dv}{dy}\,\frac{dy}{dx} = v\,\frac{dv}{dy}.

Passo 3

Substituindo na equação diferencial, obtemos
v\,\frac{dv}{dy} + 4y = 0.

Passo 4

Separamos as variáveis v e y:
v\,dv = -4y\,dy.

Passo 5

Integramos ambos os lados:
\int v\,dv = \int -4y\,dy
\frac{v^2}{2} = -2y^2 + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 6

Multiplicando por 2 e rearranjando, chega-se à relação desejada:
v^2 + 4y^2 = C',
onde C'=2C é outra constante arbitrária.

Resposta

v^2 + 4y^2 = \text{constante}.

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