Questão 3. Suponha que as notas de uma prova de vestibular sejam bem aproximadas por
X \sim N(\mu=600, \sigma=100)
Qual a proporção de candidatos com nota acima de 750 ?

Passo 1

O enunciado nos dá a distribuição das notas e pede a proporção de candidatos com nota acima de 750. Informações fornecidas:
  • X \sim N(\mu=600,\\ \sigma=100).
  • Queremos a probabilidade \,P(X>750).

Passo 2

Ideia do método (sem cálculos ainda): é mais fácil trabalhar com a distribuição Normal padrão. A Normal padrão é a distribuição \,Z\sim N(0,1) com média 0 e desvio padrão 1. Para transformar qualquer Normal em padrão usa-se a padronização:
Z=\frac{X-\mu}{\sigma}.
Isso permite reescrever probabilidades sobre X em probabilidades sobre Z, que são consultáveis em tabela ou calculadora.

Passo 3

Aplicando a padronização ao evento X>750. Substituindo \mu=600 e \sigma=100,
P(X>750)=P\!\left(\frac{X-600}{100}>\frac{750-600}{100}\right).

Passo 4

Calcule o valor do lado direito:
\frac{750-600}{100}=\frac{150}{100}=1{,}5.
Portanto
P(X>750)=P(Z>1{,}5),
onde Z\sim N(0,1).

Passo 5

Agora usamos a tabela da Normal padrão (ou calculadora). Pela definição da função distribuição acumulada \Phi da Normal padrão:
P(Z>1{,}5)=1-\Phi(1{,}5).
Na tabela padrão encontra-se \Phi(1{,}5)\approx0{,}9332. Logo
P(Z>1{,}5)=1-0{,}9332=0{,}0668.
Interpretação: cerca de 6{,}68\% dos candidatos têm nota acima de 750.

Passo 6

Dica rápida para prova: se não lembrar o valor exato da tabela, a regra empírica diz que cerca de 68\% ficam a até 1 desvio padrão da média e cerca de 95\% a até 2 desvios. Aqui 750 está a 1{,}5 desvios acima da média, então esperar uma cauda de poucos por cento (alguns por cento até cerca de 7\%) faz sentido — confirma o resultado numérico acima.

Resposta

P(X>750)=0,0668 \approx 6,68\%

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