O tempo de uso diário de telas entre adolescentes pode ser modelado por:
X \sim N(4.2,1.8)
Calcule P(3<X<6).

Passo 1

O enunciado nos dá a seguinte informação e pede uma probabilidade:
  • Distribuição: X \sim N(4,2,\,1,8).
  • O que pedem: calcular P(3<X<6).
Observação sobre a notação: vou assumir a convenção usual N(\mu,\sigma^{2}), isto é, \mu=4,2 e \sigma^{2}=1,8 (variância). Se a intenção fosse que o segundo parâmetro fosse o desvio-padrão, a resposta mudaria — mas a convenção mais comum é tratar como variância.

Passo 2

Calcular o desvio-padrão a partir da variância. A definição é
\sigma=\sqrt{\sigma^{2}}=\sqrt{1,8}.
Vamos aproximar isso:
\sigma\approx1,341640786\quad(\text{arredondando: }\sigma\approx1,3416).

Passo 3

Explicar a padronização (a ideia central). Para usar a tabela ou a função da normal padrão, transformamos X em uma variável Z com distribuição normal padrão N(0,1) através da padronização:
Z=\frac{X-\mu}{\sigma}.
Isso permite escrever a probabilidade pedida como
P(3<X<6)=P\!\left(\frac{3-\mu}{\sigma}<Z<\frac{6-\mu}{\sigma}\right).
Aqui \mu=4,2 e \sigma=\sqrt{1,8}.

Passo 4

Calcular os valores de Z correspondentes a X=3 e X=6.
Primeiro computar os numeradores:
3-\mu=3-4,2=-1,2, \qquad 6-\mu=6-4,2=1,8.
Agora dividir por \sigma:
z_{1}=\frac{3-4,2}{\sqrt{1,8}}=\frac{-1,2}{1,341640786}\approx-0,894427191\approx-0,8944,
z_{2}=\frac{6-4,2}{\sqrt{1,8}}=\frac{1,8}{1,341640786}\approx1,341640787\approx1,3416.

Passo 5

Usar a função de distribuição da normal padrão \Phi. Pela propriedade de simetria da normal padrão:
\Phi(-a)=1-\Phi(a).
Portanto
P(3<X<6)=\Phi(z_{2})-\Phi(z_{1}).
Vamos obter valores numéricos aproximados (usando tabela ou calculadora da normal padrão):
  • Para z_{2}\approx1,3416: \Phi(1,3416)\approx0,9102 (interpolando na tabela da normal).
  • Para z_{1}\approx-0,8944: primeiro calculamos \Phi(0,8944). Da tabela, \Phi(0,8944)\approx0,8144, então \Phi(-0,8944)=1-\Phi(0,8944)\approx1-0,8144=0,1856.
Agora a diferença:
P(3<X<6)\approx0,9102-0,1856=0,7246.

Passo 6

Interpretação: a probabilidade de um adolescente ter tempo de uso diário de telas entre 3 e 6 (horas) segundo esse modelo normal com média 4,2 e variância 1,8 é aproximadamente 0,7246, ou seja cerca de 72{,}46\%.

Resposta

0,7246

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