Questão 2. O diâmetro
de parafusos produzidos por certa máquina é modelado por
Uma peça é considerada conforme se o diâmetro estiver entre
e
.
(a) Qual a porcentagem de peças conformes?
(b) Quantos parafusos não conformes se espera em um lote de 10000 peças?
(a) Qual a porcentagem de peças conformes?
(b) Quantos parafusos não conformes se espera em um lote de 10000 peças?
Passo 1
O enunciado dá claramente as seguintes informações e pede duas coisas.
- Informação: o diâmetro
segue uma distribuição normal com média e desvio padrão dados: - Informação: uma peça é considerada conforme se o diâmetro estiver entre
e . - Perguntas:
(a) Qual a porcentagem de peças conformes?
(b) Quantos parafusos não conformes se espera em um lote depeças?
Passo 2
Entendendo a ideia básica: a distribuição normal (ou distribuição de Gauss) dá a probabilidade de a variável aleatória
cair em intervalos. A função de distribuição acumulada da normal padrão é denotada por
, onde a normal padrão tem média
e desvio padrão
.
Para aplicar tabelas ou
precisamos transformar
numa variável padrão
usando a padronização:
Aqui
é a média (o valor esperado) e
é o desvio padrão. Essa transformação leva qualquer normal
para a normal padrão
. Depois usamos
para obter probabilidades.
Passo 3
Vamos padronizar os limites do intervalo de conformidade. Calculamos os
-scores correspondentes a
e
.
- Para
: - Para
:
Portanto a probabilidade de conformidade é
.
Passo 4
Agora usamos a função distribuição da normal padrão. Pelo fato de a normal padrão ser simétrica em torno de zero,
Consultando a tabela da normal padrão (ou uma calculadora estatística), tem-se
Substituindo:
Passo 5
Interpretação e conversão para porcentagem: a probabilidade
corresponde a
Isto é, aproximadamente
das peças são conformes.
Passo 6
Agora a parte (b): número esperado de peças não conformes em um lote de
peças.
- A proporção de não conformes é
. - O número esperado de peças não conformes é
Em termos práticos espera-se cerca de
parafusos não conformes (arredondando para o número inteiro mais próximo).
Passo 7
Resumo rápido do método (para a prova, decorando passos):
- Identifique
e . - Padronize pontos com
. - Use a tabela da normal padrão para
ou uma calculadora. - A probabilidade entre dois pontos é
(ou use simetria quando aplicável). - Para quantidade esperada em
itens, multiplique pela probabilidade da característica (ou pelo complemento, se for não conformidade).
Resposta
(a)
(b) parafusos (aproximadamente
parafusos)
(b)