Questão 2. O diâmetro D(\mathrm{em} \mathrm{mm}) de parafusos produzidos por certa máquina é modelado por
D \sim N(\mu=10, \sigma=0,02)
Uma peça é considerada conforme se o diâmetro estiver entre 9,97 \mathrm{~mm} e 10,03 \mathrm{~mm}.
(a) Qual a porcentagem de peças conformes?
(b) Quantos parafusos não conformes se espera em um lote de 10000 peças?

Passo 1

O enunciado dá claramente as seguintes informações e pede duas coisas.
  • Informação: o diâmetro D segue uma distribuição normal com média e desvio padrão dados: D \sim N(\mu=10,\\ \sigma=0,02).
  • Informação: uma peça é considerada conforme se o diâmetro estiver entre 9{,}97\\ \text{mm} e 10{,}03\\ \text{mm}.
  • Perguntas:
    (a) Qual a porcentagem de peças conformes?
    (b) Quantos parafusos não conformes se espera em um lote de 10000 peças?

Passo 2

Entendendo a ideia básica: a distribuição normal (ou distribuição de Gauss) dá a probabilidade de a variável aleatória D cair em intervalos. A função de distribuição acumulada da normal padrão é denotada por \Phi(z), onde a normal padrão tem média 0 e desvio padrão 1.
Para aplicar tabelas ou \Phi precisamos transformar D numa variável padrão Z usando a padronização:
Z = \frac{D-\mu}{\sigma}.
Aqui \mu é a média (o valor esperado) e \sigma é o desvio padrão. Essa transformação leva qualquer normal N(\mu,\sigma) para a normal padrão N(0,1). Depois usamos \Phi para obter probabilidades.

Passo 3

Vamos padronizar os limites do intervalo de conformidade. Calculamos os z-scores correspondentes a D=9{,}97 e D=10{,}03.
  • Para D=9{,}97: z_1=\frac{9{,}97-10}{0{,}02}=\frac{-0{,}03}{0{,}02}=-1{,}5.
  • Para D=10{,}03: z_2=\frac{10{,}03-10}{0{,}02}=\frac{0{,}03}{0{,}02}=1{,}5.
Portanto a probabilidade de conformidade é \Pr(9{,}97\le D\le10{,}03)=\Pr(-1{,}5\le Z\le1{,}5).

Passo 4

Agora usamos a função distribuição da normal padrão. Pelo fato de a normal padrão ser simétrica em torno de zero,
\Pr(-1{,}5\le Z\le1{,}5)=\Phi(1{,}5)-\Phi(-1{,}5)=\Phi(1{,}5)-\bigl(1-\Phi(1{,}5)\bigr)=2\Phi(1{,}5)-1.
Consultando a tabela da normal padrão (ou uma calculadora estatística), tem-se
\Phi(1{,}5)\approx 0{,}93319.
Substituindo:
\Pr(-1{,}5\le Z\le1{,}5)=2\cdot 0{,}93319-1=0{,}86638.

Passo 5

Interpretação e conversão para porcentagem: a probabilidade 0{,}86638 corresponde a
0{,}86638 \times 100\% = 86{,}638\%.
Isto é, aproximadamente 86{,}64\% das peças são conformes.

Passo 6

Agora a parte (b): número esperado de peças não conformes em um lote de 10000 peças.
  • A proporção de não conformes é 1-0{,}86638=0{,}13362.
  • O número esperado de peças não conformes é 10000 \times 0{,}13362 = 1336{,}2.
Em termos práticos espera-se cerca de 1336 parafusos não conformes (arredondando para o número inteiro mais próximo).

Passo 7

Resumo rápido do método (para a prova, decorando passos):
  • Identifique \mu e \sigma.
  • Padronize pontos com z=(x-\mu)/\sigma.
  • Use a tabela da normal padrão para \Phi(z) ou uma calculadora.
  • A probabilidade entre dois pontos é \Phi(z_2)-\Phi(z_1) (ou use simetria quando aplicável).
  • Para quantidade esperada em n itens, multiplique n pela probabilidade da característica (ou pelo complemento, se for não conformidade).

Resposta

(a) 86{,}638\%
(b) 1336{,}2 parafusos (aproximadamente 1336 parafusos)

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