Questão 1: Suponha que U é um conjunto universo. Mostre que:
Se A subset B, então B^c subset A^c

Passo 1

Então, vamos lá! O enunciado nos pede para mostrar que se o conjunto $ A $ está contido em $ B $ ($ A \subset B $), então o complemento de $ B $ está contido no complemento de $ A $ ($ B^{c} \subset A^{c} $). Vamos trabalhar com conjuntos e seus complementos, usando noções básicas de teoria dos conjuntos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa $ A \subset B $. Isso quer dizer que todo elemento de $ A $ também está em $ B $. Em termos matemáticos, se $ x \in A $, então $ x \in B $.

Passo 3

Agora, vamos pensar no complemento de um conjunto. O complemento de $ B $, escrito como $ B^{c} $, é o conjunto de todos os elementos que não estão em $ B $. Ou seja, $ x \in B^{c} $ significa que $ x $ não está em $ B $.

Passo 4

Para provar que $ B^{c} \subset A^{c} $, precisamos mostrar que se um elemento está em $ B^{c} $, então ele também está em $ A^{c} $. Em outras palavras, se $ x \in B^{c} $, então $ x \in A^{c} $.

Passo 5

Vamos assumir que $ x \in B^{c} $. Isso significa que $ x $ não está em $ B $. Mas como $ A \subset B $, todo elemento de $ A $ está em $ B $. Então, se $ x $ não está em $ B $, ele também não pode estar em $ A $. Portanto, $ x \notin A $, o que implica que $ x \in A^{c} $.

Resposta

Assim, mostramos que se $ A \subset B $, então $ B^{c} \subset A^{c} $.

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