Questão 1: Suponha que U é um conjunto universo. Mostre que:
A cup B=U se, e somente se, A^c subset B

Passo 1

Beleza! Vamos mostrar que, num conjunto universo U, a união de A e B iguala a U se e somente se o complemento de A está contido em B. Para isso, vamos usar conceitos básicos de teoria dos conjuntos como união, complemento e inclusão.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa A cup B = U. Isso quer dizer que todo elemento que está em U está ou em A, ou em B, ou em ambos.

Passo 3

Agora, o que é A^c? É o complemento de A, ou seja, todos os elementos que estão em U, mas não estão em A.

Passo 4

A expressão A^c subset B significa que todo elemento que está no complemento de A também está em B. Ou seja, não tem elemento fora de A que não esteja em B.

Passo 5

Vamos provar primeiro que se A cup B = U, então A^c subset B.

Passo 6

Se A cup B = U, qualquer elemento que não está em A deve estar em B para que a união cubra todo o universo. Formalmente, se x in A^c, então necessariamente x in B. Portanto, A^c subset B.

Passo 7

Agora, vamos provar o contrário: se A^c subset B, então A cup B = U.

Passo 8

Se todo elemento que não está em A está em B, então qualquer elemento de U está ou em A, ou em B. Isso significa que a união de A e B cobre todo o conjunto universo, ou seja, A cup B = U.

Resposta

Assim, mostramos que A cup B = U se, e somente se, A^c subset B.

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