Questão 1: Suponha que
é um conjunto universo. Mostre que:
se, e somente se,
Passo 1
Beleza! Vamos mostrar que, num conjunto universo
, a união de
e
iguala a
se e somente se o complemento de
está contido em
. Para isso, vamos usar conceitos básicos de teoria dos conjuntos como união, complemento e inclusão.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa
. Isso quer dizer que todo elemento que está em
está ou em
, ou em
, ou em ambos.
Passo 3
Agora, o que é
? É o complemento de
, ou seja, todos os elementos que estão em
, mas não estão em
.
Passo 4
A expressão
significa que todo elemento que está no complemento de
também está em
. Ou seja, não tem elemento fora de
que não esteja em
.
Passo 5
Vamos provar primeiro que se
, então
.
Passo 6
Se
, qualquer elemento que não está em
deve estar em
para que a união cubra todo o universo. Formalmente, se
, então necessariamente
. Portanto,
.
Passo 7
Agora, vamos provar o contrário: se
, então
.
Passo 8
Se todo elemento que não está em
está em
, então qualquer elemento de
está ou em
, ou em
. Isso significa que a união de
e
cobre todo o conjunto universo, ou seja,
.
Resposta
Assim, mostramos que
se, e somente se,
.