Questão 3 - Ar a temperatura de 527^{\circ} \mathrm{C} e a pressão de 1 bar com velocidade de 10 \mathrm{~m} / \mathrm{s} flui sobre uma placa plana de 50 cm de comprimento. Estimar a taxa de resfriamento por unidade de largura da placa necessária para manter a sua superfície a temperatura de 27^{\circ} \mathrm{C}.
Dados: \mu=2,884 \times 10^{-5} \mathrm{~N} . \mathrm{s} / \mathrm{m}^{2}, \varrho=0,6329 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}, \mathrm{C}_{\mathrm{p}}=1040 \mathrm{~J} / \mathrm{kg} . \mathrm{K} e \mathrm{k}=0,044 \mathrm{~W} / \mathrm{m} . \mathrm{K}

Passo 1

O que o problema pede: estimar a taxa de resfriamento por unidade de largura da placa (isto é, a potência por metro de largura que deve ser retirada) para manter a superfície da placa a 27^\circ\mathrm{C} quando o ar a 527^\circ\mathrm{C} flui sobre a placa com velocidade 10\\ \mathrm{m/s} e comprimento da placa 0,50\\ \mathrm{m}.
Dados fornecidos (vou listar todos explicitamente, com as unidades):
\begin{aligned} &T_\infty = 527^\circ\mathrm{C},\\\ &T_s = 27^\circ\mathrm{C},\\\ &U_\infty = 10\\ \mathrm{m/s},\\\ &L = 0,50\\ \mathrm{m},\\\ &\mu = 2{,}884\times 10^{-5}\\ \mathrm{N\cdot s/m^2},\\\ &\rho = 0{,}6329\\ \mathrm{kg/m^3},\\\ &C_p = 1040\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)},\\\ &k = 0{,}044\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}. \end{aligned}
O objetivo final (o que vamos calcular): a taxa de resfriamento por unidade de largura, que denoto por \dot{Q}' (unidade: \mathrm{W/m}).
Neste passo apenas identifiquei os dados e o pedido; a resolução começa no próximo passo.

Passo 2

Decidir o regime do escoamento (laminar ou turbulento) calculando o número de Reynolds característico na placa e comparando com o valor crítico usual.
Fórmula do número de Reynolds baseado no comprimento:
\mathrm{Re}_L = \frac{\rho\, U_\infty\, L}{\mu}.
Agora substituímos os valores (tudo entre delimitadores TeX):
\mathrm{Re}_L = \frac{0{,}6329\cdot 10\cdot 0{,}50}{2{,}884\times 10^{-5}}.
Calculando passo a passo: o numerador é
0{,}6329\cdot 10\cdot 0{,}50 = 0{,}6329\cdot 5 = 3{,}1645.
Portanto
\mathrm{Re}_L = \frac{3{,}1645}{2{,}884\times 10^{-5}} \approx 1{,}097\times 10^{5}.
Interpretação prática: o valor típico de transição laminar→turbulento sobre placa plana ocorre em torno de \mathrm{Re}\sim 5\times10^{5}. Como \mathrm{Re}_L\approx 1{,}10\times10^{5} é bem menor que 5\times10^{5}, o escoamento sobre a placa até L=0{,}50\\ \mathrm{m} pode ser considerado laminar. Portanto usaremos correlações de convecção para escoamento laminar sobre placa plana.

Passo 3

Calcular o número de Prandtl, que caracteriza a razão entre difusão de momento e calor no fluido. Fórmula:
\mathrm{Pr} = \frac{\mu\, C_p}{k},
onde \mu é a viscosidade dinâmica, C_p é calor específico a pressão constante e k é condutividade térmica.
Substituindo os valores:
\mathrm{Pr} = \frac{2{,}884\times10^{-5}\cdot 1040}{0{,}044}.
Calculando o numerador:
2{,}884\times10^{-5}\cdot 1040 = 0{,}0299936.
Logo
\mathrm{Pr} = \frac{0{,}0299936}{0{,}044} \approx 0{,}6817.
Explicação didática rápida: \mathrm{Pr} sem unidade; se \mathrm{Pr}\sim 1, difusões térmica e viscosa têm mesma ordem. Aqui \mathrm{Pr}\approx 0{,}68, típico para ar quente — calor difunde um pouco mais rápido que o momento.

Passo 4

Escolher a correlação para o número de Nusselt médio sobre a placa (escoamento laminar e superfície de temperatura constante). Definição e uso:
  • O número de Nusselt local é \mathrm{Nu}_x = \dfrac{h(x)\,x}{k}, liga o coeficiente local de transferência de calor h(x) com as propriedades térmicas do fluido.
  • Para escoamento laminar sobre placa plana com parede a temperatura constante, a correlação local é
\mathrm{Nu}_x = 0{,}332\,\mathrm{Re}_x^{1/2}\,\mathrm{Pr}^{1/3}.
  • O número de Nusselt médio sobre o comprimento L (que dá o coeficiente médio h sobre L) é
\mathrm{Nu}_L = 0{,}664\,\mathrm{Re}_L^{1/2}\,\mathrm{Pr}^{1/3}.
Justificativa do uso: como o escoamento é laminar até L (ver Passo 2), usamos a forma laminar acima. Estas correlações são resultados clássicos (solução de Blasius para camada limite) e válidas para \mathrm{Pr} de ordem unitária e \mathrm{Re} laminar.

Passo 5

Calcular \mathrm{Nu}_L. Primeiro \mathrm{Re}_L^{1/2} e \mathrm{Pr}^{1/3}.
\mathrm{Re}_L^{1/2} = \sqrt{1{,}097\times10^{5}} \approx 331{,}2.
\mathrm{Pr}^{1/3} = (0{,}6817)^{1/3} \approx 0{,}8799.
Agora
\mathrm{Nu}_L = 0{,}664\cdot 331{,}2\cdot 0{,}8799.
Multiplicando passo a passo:
0{,}664\cdot 331{,}2 = 219{,}9\quad(\text{aprox.}),
219{,}9\cdot 0{,}8799 \approx 193{,}6.
Portanto
\mathrm{Nu}_L \approx 193{,}6.

Passo 6

Determinar o coeficiente médio de convecção h a partir de \mathrm{Nu}_L. Relação:
h = \frac{\mathrm{Nu}_L\, k}{L}.
Substituindo valores:
h = \frac{193{,}6\cdot 0{,}044}{0{,}50}.
Calculando:
193{,}6\cdot 0{,}044 = 8{,}5184,
h = \frac{8{,}5184}{0{,}50} = 17{,}0368\\ \mathrm{W/(m^2\cdot K)}.
Arredondando com razoável precisão:
h \approx 17{,}04\\ \mathrm{W/(m^2\cdot K)}.
Breve explicação: h indica a taxa de transferência de calor por unidade de área e por unidade de diferença de temperatura entre o fluido longe e a superfície.

Passo 7

Calcular a taxa de resfriamento por unidade de largura \dot{Q}' (unidade \mathrm{W/m}). Para placa de largura unitária (1 m na direção perpendicular ao fluxo), a potência total por unidade de largura é
\dot{Q}' = \int_{0}^{L} h(x)\,\bigl(T_\infty - T_s\bigr)\,dx.
Usando o coeficiente médio h sobre L, isso reduz para
\dot{Q}' = h\,L\,\bigl(T_\infty - T_s\bigr).
Mas como h = \dfrac{\mathrm{Nu}_L\,k}{L}, temos a forma conveniente
\dot{Q}' = k\,\mathrm{Nu}_L\,(T_\infty - T_s).
Diferença de temperatura:
T_\infty - T_s = 527^\circ\mathrm{C} - 27^\circ\mathrm{C} = 500\\ \mathrm{K}.
Agora substituímos:
\dot{Q}' = 0{,}044\cdot 193{,}6 \cdot 500.
Calculando:
0{,}044\cdot 193{,}6 = 8{,}5184,
8{,}5184 \cdot 500 = 4{,}259{,}2\\ \mathrm{W/m}.
Portanto a taxa de resfriamento por unidade de largura necessária é aproximadamente 4{,}259{,}2\\ \mathrm{W/m}, ou cerca de 4{,}26\\ \mathrm{kW/m}.

Resposta

4{,}26\times 10^{3}\\ \mathrm{W/m}

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