Questão 1 - Óleo de motor a 20^{\circ} \mathrm{C} é forçado sobre uma placa quadrada de lados 20 cm , a uma velocidade de 1,2 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. A placa é aquecida a uma temperatura uniforme de 60^{\circ} \mathrm{C}. Calcule a quantidade de calor perdido pela placa.
Dados: v=0,00024 \mathrm{~m}^{2} / \mathrm{s} ; \varrho=876 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} ; \mathrm{P}_{\mathrm{r}}=2870 \mathrm{e} \mathrm{k}=0,144 \mathrm{~W} / \mathrm{m} . \mathrm{K}

Passo 1

O problema pede: “Calcule a quantidade de calor perdido pela placa”. Dados fornecidos (peguei todos do enunciado):
\begin{aligned} &\text{velocidade do escoamento: } U = 1,2\\ \mathrm{m/s},\\\ &\text{lado da placa: } L = 0,20\\ \mathrm{m},\\\ &\text{temperatura do fluido distante: } T_\infty = 20^\circ\mathrm{C},\\\ &\text{temperatura da placa (superfície): } T_s = 60^\circ\mathrm{C},\\\ &\text{viscosidade cinemática: } \nu = 0,00024\\ \mathrm{m}^2/\mathrm{s},\\\ &\text{densidade: } \varrho = 876\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^3\\ (\text{fornecida, não usada diretamente}),\\\ &\text{Prandtl: } \mathrm{Pr} = 2870,\\\ &\text{condutividade térmica do óleo: } k = 0,144\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}\cdot\mathrm{K}. \end{aligned}íáãéó
O objetivo é calcular a taxa de transferência de calor da placa para o óleo, isto é, \dot{Q}. A estratégia geral será: achar o coeficiente convectivo h usando correlações para escoamento sobre placa plana e então calcular \dot{Q}=hA(T_s-T_\infty). A resolução começa no próximo passo.

Passo 2

Calcular o número de Reynolds característico com L como comprimento característico:
\mathrm{Re}_L=\dfrac{U L}{\nu},
onde U é a velocidade livre, L o comprimento (lado da placa) e \nu a viscosidade cinemática. Substituindo os valores:
\mathrm{Re}_L=\dfrac{1,2\cdot 0,20}{0,00024}.
Primeiro calcule o numerador: 1,2\cdot 0,20=0,24. Então
\mathrm{Re}_L=\dfrac{0,24}{0,00024}=1000.
Interpretação didática: \mathrm{Re} é a razão entre forças inerciais e viscosas; valores baixos indicam regime laminar. Como \mathrm{Re}_L=1000\ll 5\times10^5, o escoamento sobre a placa é laminar ao longo do comprimento considerado. Isso nos permite usar correlações de convecção laminar sobre placa plana.

Passo 3

Introdução à Nusselt e escolha da correlação:
  • O número de Nusselt \mathrm{Nu} é adimensional e mede a eficiência da transferência de calor por convecção em relação à condução: \mathrm{Nu}= \dfrac{h L}{k}, onde h é o coeficiente convectivo e k a condutividade do fluido.
  • Para escoamento laminar sobre uma placa plana com temperatura de superfície constante, a correlação para o número de Nusselt médio sobre o comprimento L é clássica:
\overline{\mathrm{Nu}}_L = 0,664\,\mathrm{Re}_L^{1/2}\,\mathrm{Pr}^{1/3}.
Aqui \mathrm{Pr} é o número de Prandtl que relaciona difusão de momento e difusão térmica, e as potências indicam como essas difusões influenciam a convecção térmica. Essa fórmula é válida para escoamento laminar sobre placa plana com \mathrm{Re}_L \lesssim 5\times10^5 e \mathrm{Pr} \gtrsim 0,6. No nosso caso \mathrm{Pr}=2870 é muito grande, mas a fórmula continua aplicável (o grande \mathrm{Pr} indica uma camada térmica muito mais fina que a de velocidade).

Passo 4

Calcular \overline{\mathrm{Nu}}_L. Primeiro calcule \mathrm{Re}_L^{1/2} e \mathrm{Pr}^{1/3}:
\mathrm{Re}_L^{1/2} = 1000^{1/2} \approx 31{,}622,
\mathrm{Pr}^{1/3} = 2870^{1/3} \approx 14{,}20.
Agora a média de Nusselt:
\overline{\mathrm{Nu}}_L = 0,664\cdot 31{,}622 \cdot 14{,}20 \approx 298{,}1.

Passo 5

Calcular o coeficiente convectivo médio h a partir de \overline{\mathrm{Nu}}_L:
h = \dfrac{\overline{\mathrm{Nu}}_L\,k}{L}.
Substituindo os valores ( k=0,144\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}\cdot\mathrm{K}, L=0,20\\ \mathrm{m}):
h = \dfrac{298{,}1\cdot 0,144}{0,20}.
Calcule 0,144/0,20 = 0,72. Portanto
h \approx 298{,}1\cdot 0,72 \approx 214{,}6\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2\cdot\mathrm{K}.
Interpretação: esse é o coeficiente médio de troca térmica entre a placa e o óleo.

Passo 6

Calcular a área da placa e a taxa de calor:
  • Área da placa quadrada:
A = L^2 = (0,20)^2 = 0,040\\ \mathrm{m}^2.
  • Diferença de temperatura:
\Delta T = T_s - T_\infty = 60 - 20 = 40\\ \mathrm{K}.
  • Taxa de calor por convecção:
\dot{Q} = h A \Delta T = 214{,}6 \cdot 0,040 \cdot 40.
Calcule passo a passo: 214{,}6\cdot 0,040 = 8{,}584. Então
\dot{Q} = 8{,}584 \cdot 40 = 343{,}36\\ \mathrm{W}.

Passo 7

Arredondamento e comentário final: com três algarismos significativos, \dot{Q}\approx 343\\ \mathrm{W}. Isso faz sentido fisicamente: óleo com alta \mathrm{Pr} favorece alta resistência térmica próxima à superfície, mas o coeficiente obtido ainda é razoável para troca com óleo em escoamento moderado.

Resposta

\dot{Q}\approx 343\\ \mathrm{W}

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